能量积分与唯一性 — 数学选择题
题目
设 u₁, u₂ 都在矩形域 Q={0<x<1, 0<t≤T} 上满足热传导方程 u_t − u_xx = 0，且边界条件相同：u₁(0,t)=u₂(0,t)=0，u₁(1,t)=u₂(1,t)=0；初始条件不同：u₁(x,0)=2sin(πx)，u₂(x,0)=−3sin(πx)。令 w=u₁−u₂，定义能量 E(t)=∫₀¹ w²dx。问下列结论正确的是：A. 由极值原理，E(t)≡0，故两解恒等 B. E'(t)=−2∫₀¹(w_x)²dx≤0，但初值 w(x,0)=5sin(πx)≠0，两解不恒等 C. E'(t)=2∫₀¹(w_x)²dx≥0，能量随时间增大 D. 能量方法只能证明解存在，无法判断唯一性