能量积分与唯一性 — 数学选择题
题目
设 u(x,t) 在矩形域 Q={0<x<1, 0<t≤T} 上满足初边值问题：u_t − u_xx = 0，u(0,t)=u(1,t)=0，u(x,0)=sin(πx)。记能量 E(t)=∫₀¹ u²(x,t)dx。下列关于 E(t) 与解 u 的结论正确的是：
A. E′(t)=−2∫₀¹ u_x² dx ≤ 0，且当 E(0)=1/2 时 E(t)≤1/2，从而零初边值下解唯一
B. E′(t)=2∫₀¹ u_x² dx ≥ 0，能量随时间增大
C. E′(t)≡0，能量守恒，E(t) 恒等于 1/2
D. 仅由能量不等式无法判断 E(t) 的单调性，只能借助显式解