大学拓扑学（大学通用）上册《覆盖空间与提升》练习题

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本单元考点（5 个）

覆盖空间的定义与例子覆盖空间的提升性质道路提升与同伦提升单连通覆盖与万有覆盖覆盖变换与正则覆盖

题目预览（5/9 题）

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1. 设覆盖映射 p:S¹→S¹ 为 p(z)=z⁴。关于该覆盖的覆盖变换群 Deck(p) 与其正则性，下列结论正确的是： A. Deck(p) 同构于 Z，该覆盖不是正则覆盖 B. Deck(p) 同构于 Z₄，且该覆盖是正则覆盖 C. Deck(p) 仅含恒等映射，因为 z↦z⁴ 不是通用覆盖 D. Deck(p) 同构于 Z₂，该覆盖是正则覆盖

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2. 设 p: ℝ → S¹ 为标准指数覆叠 p(t)=e^(2πit)，E=ℝ，底空间 X=S¹。考虑映射 f: [0,1] → S¹，f(s)=e^(4πis)。关于 f 的提升 f̃: [0,1] → ℝ（满足 p∘f̃=f），下列结论正确的是：A. f 的提升不唯一，且不存在使 f̃(0)=0 的提升 B. f 存在唯一满足 f̃(0)=0 的提升，且 f̃(1)=2 C. f 存在唯一满足 f̃(0)=0 的提升，且 f̃(1)=1 D. f 不存在连续提升，因为 f 在 S¹ 中绕行两圈

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3. 设覆盖映射 p:S¹→S¹ 为 p(z)=z⁶，记 p 的诱导同态像为 6Z⊂Z=π₁(S¹)。关于该覆盖的覆盖变换群 Deck(p) 及其正则性，下列结论正确的是：A. Deck(p) 同构于 Z₆，且该覆盖是正则覆盖　B. Deck(p) 同构于 Z，且该覆盖是正则覆盖　C. Deck(p) 同构于 Z₆，但因 6Z 非平凡故该覆盖不是正则覆盖　D. Deck(p) 只含恒等映射，故该覆盖不是正则覆盖

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4. 设 p: R→S¹, p(t)=e^(2πit) 为圆周的通用覆盖空间。关于该覆盖的覆盖变换群 Deck(p) 及其正则性，下列结论正确的是： A. Deck(p) 为平凡群，故该覆盖是正则覆盖 B. Deck(p) 同构于 Z，任一覆盖变换均为平移 t↦t+k（k∈Z），且该覆盖是正则覆盖 C. Deck(p) 同构于 Z，但该覆盖不是正则覆盖 D. Deck(p) 同构于 Z，任一覆盖变换均为平移 t↦t+2πk（k∈Z）

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5. 设 X = S¹ × S¹（环面），p: R² → X 为映射 p(x, y) = (e^(2πix), e^(2πiy))。下列关于该覆盖空间的结论中，正确的是：A. p 是万有覆盖，因为 R² 是单连通的且 p 是覆盖映射　B. p 不是覆盖映射，因为 R² 不是紧致的　C. p 是覆盖映射但不是万有覆盖，因为其覆盖变换群是平凡群　D. X 自身就是自己的万有覆盖，因为 X 局部道路单连通且局部半单连通

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