大学拓扑学（大学通用）上册《连通性与道路连通性》练习题

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本单元考点（5 个）

连通空间的定义连通分支与不连通空间道路连通与弧连通局部连通与道路局部连通连通性在连续映射下的保持

题目预览（5/9 题）

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1. 设 X 为拓扑空间，下列命题正确的是（　　） A. 道路连通空间必是连通空间 B. 连通空间必是道路连通空间 C. 若 X 的每个点都有道路连通邻域，则 X 连通蕴含 X 道路连通 D. 实数集 R 的子集 [0,1]∪[2,3] 是道路连通的

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2. 设 X 为拓扑空间，则下列命题正确的是：A. 若 X 连通且局部道路连通，则 X 道路连通　B. 若 X 道路连通，则 X 局部连通　C. 若 X 局部道路连通，则 X 连通　D. 若 X 局部连通，则 X 道路局部连通

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3. 设 X = {(x,y) ∈ R² : y = 0, x ≤ 0} ∪ {(x,y) ∈ R² : y = 1, x ≥ 0}，即平面上两条不相交的射线：负 x 轴（含原点）与直线 y=1 上 x≥0 的部分（含点 (0,1)）。记 X 的连通分支全体为 {C₁, C₂, …}（按个数）。下列说法正确的是：A. X 是连通空间，连通分支个数为 1　B. X 的连通分支个数为 2，且 X 不是道路连通空间　C. X 的连通分支个数为 2，且 X 是道路连通空间　D. X 的连通分支个数为 3

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4. 设 X 为 R² 的子空间：X = {(x, y) : y = sin(1/x), 0 < x ≤ 1} ∪ {(0, y) : -1 ≤ y ≤ 1}（拓扑正弦曲线与极限线段的并）。下列结论正确的是（　　） A. X 道路连通，但不弧连通 B. X 连通但不道路连通 C. X 不连通 D. X 是弧连通空间

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5. 设 X、Y 为拓扑空间，f: X→Y 为连续映射。下列命题正确的是（　） A. 若 Y 连通，则 X 必连通 B. 若 X 连通，则 f(X) 是 Y 的连通子集 C. 连续映射把连通子集映为连通子集，但 f(X) 未必连通 D. 若 X 不连通，则 Y 必不连通

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