大学拓扑学（大学通用）上册《基本群与同伦》练习题

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本单元考点（5 个）

同伦与同伦关系基本群的构造连续映射诱导的基本群同态同伦等价与基本群同构圆周的基本群计算

题目预览（5/9 题）

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1. 设 S¹ 为复平面上的单位圆周，π₁(S¹,1) ≅ Z。考虑下列连续映射 f: S¹→S¹，其中 z∈S¹。问哪一个映射诱导的基本群同态 f*: π₁(S¹,1)→π₁(S¹,1) 是平凡同态（即把每个元素映为单位元）？ A. f(z)=z² B. f(z)=z³ C. f(z)=z⁻¹ D. f(z)=1（常值映射）

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2. 下列关于同伦等价与基本群的说法中，正确的是（　） A. 若 X 与 Y 同伦等价，则它们的基本群同构 B. 若 X 与 Y 的基本群同构，则 X 与 Y 一定同胚 C. 圆周 S¹ 与平面 R² 同伦等价 D. 同伦等价关系只满足对称性，不满足传递性

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3. 设 X 为两个圆周 S¹ 与 S² 的楔和（将两点粘合为一点 x₀），即 X = S¹ ∨ S²，基点取粘合点 x₀。则基本群 π₁(X, x₀) 为：A. 平凡群　B. 无限循环群　C. 两个生成元生成的自由群 F₂　D. 整数加群与平凡群的直积 Z × {e}

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4. 设 f: S¹ → S¹ 为连续映射，且 f 把每一点映到同一点（即 f 为常值映射），记 f*: π₁(S¹, x₀) → π₁(S¹, f(x₀)) 为 f 诱导的基本群同态。下列关于 f* 的结论正确的是（　） A. f* 是同构 B. f* 是单同态但不是满同态 C. f* 是满同态但不是单同态 D. f* 把 π₁(S¹, x₀) 的每个元素都映到单位元

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5. 设 f: S¹ → S¹ 为连续映射，其诱导同态 f*: π₁(S¹, 1) → π₁(S¹, f(1)) 满足 f*([γ]) = [k·γ]（即把生成元映为度的 k 倍，k 为整数）。又设 g: S¹ → S¹ 为常值映射。下列关于诱导同态的结论正确的是： A. f* 一定是同构 B. g* 是平凡同态（把 π₁(S¹) 的每个元素映为单位元） C. f* 与 g* 总是相等 D. g* 一定是满同态

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