大学离散数学（计算机类）上册《代数系统》练习题

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本单元考点（2 个）

二元运算的特殊元素群与子群

本单元练习题（9 题）

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1. 在实数集 R 上定义二元运算 a∘b = a + b + ab。下列关于该运算特殊元素的结论中，正确的是（　）。 A. 单位元为 1 B. 零元为 -1，且每个 a ≠ -1 的元素都可逆，其逆元为 -a/(1+a) C. R 中每个元素都有逆元 D. 该运算存在零元但不存在单位元

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2. 在实数集 R 上定义二元运算 a∘b = a + b − ab，下列关于该运算特殊元素的结论中，正确的是（　）。 A. 单位元为 1，零元为 0 B. 单位元为 0，零元为 1 C. 单位元为 0，零元不存在 D. 单位元不存在，故逆元无从谈起

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3. 在实数集 R 上定义二元运算 a∘b = a + b + 3ab。已知该运算存在单位元与零元，则元素 2 关于该运算的逆元为（　）。 A. −2/7 B. 2/7 C. −1/3 D. −7/2

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4. 设 S={a,b,c}，二元运算 * 由下表给出：　a*a=a，a*b=b，a*c=a 　b*a=b，b*b=b，b*c=b 　c*a=a，c*b=b，c*c=c 则关于运算 * 的单位元与零元，下列结论正确的是 A. 单位元是 a，零元是 b B. 单位元是 c，零元是 b C. 单位元是 c，不存在零元 D. 单位元与零元都是 c

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5. 设 G 为全体 2 阶可逆实矩阵关于矩阵乘法构成的代数系统，则下列结论正确的是　A. G 中任意两元素满足交换律，故 G 是交换群　B. G 关于矩阵乘法不满足结合律　C. G 是群，且方程 AX=B 对任意 A,B∈G 有唯一解 X=A⁻¹B　D. G 中每个元素的逆元不存在，故 G 不是群

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6. 在实数集 R 上定义二元运算 a∘b = ab/2，则下列结论正确的是（　）。 A. 该运算的单位元为 1 B. 该运算的零元为 2 C. 单位元为 2，零元为 0，且每个非零实数 x 的逆元为 4/x D. 每个实数关于该运算都有逆元

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7. 设 G 为全体 2 阶可逆实矩阵关于矩阵乘法构成的代数系统，H = { A ∈ G | det A = 1 }。下列结论正确的是： A. G 关于矩阵乘法是交换群 B. H 是 G 的子群 C. 对任意 B ∈ G，方程 AX = B 在 G 中无解或有无穷多解 D. H 不构成群，因为其中元素不满足交换律

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8. 在整数集 Z 上定义二元运算 a∘b = a + b − 3，则下列结论正确的是（　）。 A. 该运算的单位元为 0 B. 该运算的单位元为 3，零元不存在 C. 该运算的单位元为 3，零元为 3 D. 该运算的单位元为 −3，零元为 0

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9. 在实数集 R 上定义二元运算 a∘b = a + b − 2ab。已知该运算的单位元为 0，零元为 1/2，则元素 2 关于该运算的逆元为（　）。 A. 2/3 B. -2/3 C. 1/2 D. 2

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