大学离散数学（计算机类）上册《一阶谓词逻辑》练习题

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本单元考点（2 个）

谓词符号化量词的否定与前束范式

本单元练习题（18 题）

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1. 设一阶公式 G：∀x(∃yP(x,y)→∀zQ(x,y,z) 中 Q 不含 y 时写为 ∀zQ(x,z))，即 G 为 ∀x(∃yP(x,y)→∀zQ(x,z))。将 ¬G 化为前束范式，其正确结果为（　） A. ∃x∃y∃z(P(x,y)∧¬Q(x,z)) B. ∃x∃y∃z(P(x,y)∨¬Q(x,z)) C. ∃x∃y∀z(P(x,y)∧¬Q(x,z)) D. ∀x∃y∃z(P(x,y)∧¬Q(x,z))

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2. 设一阶公式 G = ¬∀x(∀y P(x,y) → Q(x))，其中 Q(x) 不含变元 y。将 G 化为与其等值的前束范式，正确结果是（　） A. ∃x∀y(P(x,y) ∧ ¬Q(x)) B. ∃x∀y(¬P(x,y) ∨ ¬Q(x)) C. ∀x∃y(P(x,y) ∧ ¬Q(x)) D. ∃x∀y(P(x,y) ∧ ¬Q(x,y))

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3. 设论域为全体实数，F(x)：x 是有理数，G(x)：x 是整数，H(x)：x 的平方是负数。命题「存在有理数不是整数」的符号化为____；命题「凡是有理数都不是整数」的符号化为____；命题「没有数的平方是负数」的符号化为 ¬∃xH(x)，由量词否定等值式它等值于____。

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4. 设论域为全体实数，F(x)：x 是有理数，G(x)：x 是整数，H(x)：x 的平方是正数。将下列命题分别符号化，并填入相应符号化结果：命题「任何有理数，若其平方是正数，则它是整数」符号化为____；命题「存在不是整数的有理数，其平方是正数」符号化为____；命题「并非所有有理数都是整数」符号化为____。

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5. 设论域为全体实数，F(x)：x 是素数，G(x)：x 是奇数。命题「所有素数都是奇数」的符号化为（　） A. ∀x(F(x)→G(x)) B. ∀x(F(x)∧G(x)) C. ∃x(F(x)→G(x)) D. ∃x(F(x)∧G(x))

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6. 设一阶公式 G 为 ¬∃x( P(x) → ∀y R(x,y) )，将 G 化为与其等值的前束范式，正确结果是（　） A. ∀x∃y( P(x) ∧ ¬R(x,y) ) B. ∃x∀y( P(x) ∧ ¬R(x,y) ) C. ∀x∀y( P(x) → ¬R(x,y) ) D. ∃x∃y( ¬P(x) ∧ ¬R(x,y) )

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7. 设论域为全体自然数，F(x)：x 是完全平方数，G(x)：x 是素数。利用量词否定等值式，将命题「不存在既是完全平方数又是素数的自然数」先符号化，再化为最简形式填入：____

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8. 设一阶公式 G = ¬∀x(∃y P(x,y) ∨ Q(x))，其中 Q(x) 中不含变元 y。将 G 化为与其等值的前束范式，正确结果是 A. ∃x∀y(¬P(x,y) ∧ ¬Q(x))　B. ∀x∃y(¬P(x,y) ∧ ¬Q(x))　C. ∃x(∀y¬P(x,y) ∨ ¬Q(x))　D. ∃y∀x(¬P(x,y) ∧ ¬Q(x))

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9. 设 F(x)：x 是偶数，G(x)：x 能被 4 整除（论域为整数集）。命题「所有偶数都能被 4 整除」的符号化为____；命题「存在某个偶数能被 4 整除」的符号化为____。

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10. 公式 ¬∃x∀y(P(x,y)→Q(y)) 的等值前束范式是（　） A. ∀x∃y(P(x,y)∧¬Q(y)) B. ∀x∃y(¬P(x,y)∨¬Q(y)) C. ∀x∀y(P(x,y)∧¬Q(y)) D. ∃x∀y(¬P(x,y)∨¬Q(y))

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11. 将公式 ¬∃x(P(x)→∀yQ(x,y)) 化为等值的前束范式，正确结果是（　） A. ∀x∃y(P(x)∧¬Q(x,y))　B. ∃x∀y(P(x)∧¬Q(x,y))　C. ∀x∃y(¬P(x)∧¬Q(x,y))　D. ∀x∃y(P(x)∨¬Q(x,y))

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12. 将一阶公式 ¬∃x(∀y P(x,y) → Q(x)) 化为等值的前束范式（其中 Q(x) 不含变元 y），则该前束范式为 ____。

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13. 设论域为全体整数，F(x)：x 是偶数，G(x)：x 是 3 的倍数，H(x)：x 是负数。命题「存在既是偶数又是 3 的倍数的整数」的符号化为（　）；命题「任何偶数都不是负数」的符号化为（　）；命题「并非所有 3 的倍数都是偶数」的符号化可等值改写为（　）。 A. ∃x(F(x)∧G(x))；∀x(F(x)→¬H(x))；∃x(G(x)∧¬F(x)) B. ∃x(F(x)∧G(x))；∀x(¬F(x)∧¬H(x))；∃x(G(x)∧¬F(x)) C. ∃x(F(x)∨G(x))；∀x(F(x)→¬H(x))；∀x(¬G(x)∨¬F(x)) D. ∃x(F(x)∧G(x))；∀x(F(x)→¬H(x))；¬∃x(G(x)∧F(x))

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14. 设论域为某班全体学生，F(x)：x 通过了程序设计考试，G(x)：x 提交了全部作业。命题「凡是提交了全部作业的学生都通过了程序设计考试」的符号化为____；命题「并非所有提交作业的学生都通过了考试」的符号化为____。

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15. 设论域为全体事物，F(x)：x 是编程语言，G(x)：x 支持递归。命题「存在支持递归的编程语言」的符号化结果为____

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16. 将一阶公式 ¬∀x(∃y P(x,y) ∨ Q(x)) 化为等值的前束范式（其中 Q(x) 不含变元 y），则该前束范式为 ____。

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17. 设论域为全体一元实函数，F(x)：x 在其定义域上连续，G(x)：x 在其定义域上可微。利用量词否定等值式，将命题「并非所有连续函数都可微」符号化并化为最简形式：____

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18. 将一阶公式 ¬∀x( P(x) → ∃y R(x,y) ) 化为与其等值的前束范式，正确结果是（　） A. ∃x∀y( P(x) ∧ ¬R(x,y) )　B. ∀x∃y( P(x) ∧ ¬R(x,y) )　C. ∃x∀y( ¬P(x) ∨ ¬R(x,y) )　D. ∀x∃y( ¬P(x) ∨ ¬R(x,y) )

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