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设待估积分为 I=∫₀¹ eˣdx=e−1。用蒙特卡洛方法，抽取 X₁,X₂,X₃ 服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.4、0.6。取 Y=1+X 作为控制变量（E[Y]=3/2），已知控制变量系数取 c=1.5。控制变量估计量为 Î=样本均值(eˣᵢ)+c×(E[Y]−样本均值(Yᵢ))。请：(1) 简述控制变量法为什么能降低估计方差（一句话说明其原理）；(2) 代入数据求出 I 的控制变量估计值（保留4位小数）。
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设 U₁, U₂ 为相互独立的均匀分布 U(0,1) 随机数。取 U₁ = e^(-2)，U₂ = 1/6。用 Box-Muller 变换：Z₁ = √(-2·ln U₁)·cos(2πU₂)，Z₂ = √(-2·ln U₁)·sin(2πU₂)，生成标准正态随机数 Z₁ 和 Z₂。求 Z₁ 和 Z₂ 的值。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n。取停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。已知 T < ∞ 几乎必然，且 {|Mₙ∧T|} 一致可积。试用可选停时定理求 E[T]。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，出生率 λₙ=4−n（n=0,1,2,3，λ₄=0），死亡率 μₙ=n（n=1,2,3,4）。该过程存在唯一的平稳分布 {πₙ}。试求 π₂ 与 π₃。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₂₁'(0)=3，p₂₃'(0)=2，且过程在状态 2 的逗留时间服从参数为 5 的指数分布，则 p₂₂'(0) 等于多少？ A. 5 B. -5 C. -3 D. -2
用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx。独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₁₀₀，计算 e^(xᵢ) 的样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。(1) 写出所用的蒙特卡洛估计量并说明它是 I 的无偏估计；(2) 计算该估计的标准误；(3) 已知 I 的精确值为 e−1≈1.7183，判断本次估计的绝对误差是否小于一个标准误，并计算该误差与标准误之比（保留三位小数）。
某学生用蒙特卡洛法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。他抽取均匀分布样本 U₁=0.2, U₂=0.4, U₃=0.6, U₄=0.8，以 I 的估计量为 Î=(1/4)∑ᵢ e^{Uᵢ}。已知 e^0.2≈1.221，e^0.4≈1.492，e^0.6≈1.822，e^0.8≈2.226。若以样本标准差除以 √n 作为 Î 的标准误估计，则该标准误的值最接近多少？ A. 0.065 B. 0.217 C. 0.433 D. 0.867
用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx，独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本，计算得样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。则该估计的标准误为 ____（保留三位小数）。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [0, 1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1/2, 1/2], [1/4, 0, 0, 3/4]]。已知该链不可约且正常返，则其平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) = ____。
某社区为估计居民人均月用水量（立方米），从全体 8000 名居民中简单随机抽取 200 人进行调查，抽样时未分层。调查结束后，利用物业登记资料得知总体中按住房类型分为三层：小户型占 30%、中户型占 50%、大户型占 20%。调查员将样本事后分为对应三层，各层样本量与样本均值分别为：小户型 80 人、月均 120 立方米；中户型 70 人、月均 200 立方米；大户型 50 人、月均 320 立方米。请：(1) 用事后分层加权法估计全社区人均月用水量；(2) 计算该估计值与简单样本均值之差（后值减前值），说明权重调整的方向。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=3/4，p₂₃=1/4；p₃₂=1/2，p₃₄=1/2；p₄₃=1；p₅₄=1/3，p₅₅=2/3。下列关于状态常返与瞬过分类的结论正确的是： A. 状态1是瞬过状态，因为从1出发到达2后以概率3/4回到1，且概率小于1 B. 状态1、2、3、4都是常返状态，状态5是瞬过状态 C. 状态5是常返状态，因为它有自环概率p₅₅=2/3 D. 状态3是瞬过状态，因为它以概率1/2可转移到状态4
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₂=1；p₄₄=1；p₅₄=1/2，p₅₅=1/2，其余 pᵢⱼ=0。试：（1）对每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并指出各常返类；（2）求状态 4 的平均返回时间 μ₄；（3）求状态 5 的平均返回时间 μ₅。
设某电子元件的相继寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [0,2] 上服从均匀分布，以 N(t) 表示到时刻 t 为止的更新次数，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程对寿命密度求导可得更新密度 r(t)=m'(t) 满足 r(t)=1/2+∫₀ᵗ (1/2)r(s)ds，且 m(0)=0。据此解得 m(t)=e^(t/2)−1，则 m(2)=____。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，且 P(X=3)=0.6，P(X=4)=0.4。记 Sₙ = X₁+…+Xₙ 为第 n 个更新时刻，N(t) 表示 (0, t] 内的更新次数。取 t=9：（1）求 P(N(9)=2)；（2）求 P(N(9)≥3)；（3）求 E[N(9)]。
设某元件的寿命服从参数 λ=1/2 的指数分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。若已知该元件的平均寿命为 2（单位：小时），则在区间 [0, 10]（单位：小时）内期望的更新次数 m(10) 等于多少？ A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。求：(1) 概率 P{N(1)=0 且 N(4)=3}（结果保留 e 的幂形式）；(2) 条件概率 P{N(1)=0 | N(4)=3}。
某网站服务器收到请求的次数 N(t) 是强度 λ=2（次/秒）的泊松过程。设 T 为从时刻 0 起到第 1 个请求到达的等待时间。 (1) 写出 T 的分布并求 P(T>1.5)； (2) 若已知前 0.8 秒内没有请求到达，求在第 1.8 秒时仍无请求到达的条件概率。
设某客服热线在 [0,t] 内接入的来电数 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=4（个/小时）的泊松过程。每个来电独立地以概率 p=1/4 为投诉电话，以概率 1−p=3/4 为咨询电话，记 N₁(t)、N₂(t) 分别为 [0,2] 小时内接入的投诉、咨询电话数。求：E[N₁(2)]、E[N₂(2)]，并说明 N₁(2) 与 N₂(2) 是否相互独立及理由。
某仓库货物到达次数 N(t) 是强度 λ=2（件/小时）的泊松过程，X₁, X₂, … 为相互独立的到达时间间隔。记 T = X₂ + X₃，即第 3 件货物相对于第 1 件货物的到达时刻，则概率 P(T > 1) 等于 A. 3e^(-2) B. e^(-2) C. 5e^(-2) D. 1 - 3e^(-2)
设保险索赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=4（件/小时）的泊松过程，第 i 次索赔额 Xᵢ 相互独立同分布，与 {N(t)} 独立，且 P(Xᵢ=2)=1/4，P(Xᵢ=5)=3/4。记 S(t)=∑(i=1 to N(t)) Xᵢ 为到时刻 t 的累计索赔总额，则 E[S(2)] 等于多少？ A. 30（万元） B. 34（万元） C. 38（万元） D. 42（万元）