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设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量序列，E|ξ₁|<∞，Eξ₁=μ。令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。定义 Mₙ=Sₙ−nμ（约定 M₀=0）。(1) 写出鞅的定义；(2) 验证 E|Mₙ|<∞；(3) 验证对一切 n≥0，E[Mₙ₊₁|Fₙ]=Mₙ，从而 {Mₙ} 关于 {Fₙ} 是鞅。
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设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，Q 矩阵为 Q = [ -4, 3, 1; 2, -5, 3; 0, 4, -4 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。（1）写出转移概率 p₀₂(t) 所满足的柯尔莫哥洛夫向后方程；（2）求 p₀₂'(0) 的值。
某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，其出生率与死亡率如下：λ₀=λ₁=λ₂=1（λₙ=0, n≥3），μ₁=1, μ₂=2, μ₃=3。设 π₀, π₁, π₂, π₃ 为该过程的平稳分布，求 π₀ 及 π₃ 的值。
设某生灭过程 {N(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率恒为 λₙ=2（n≥0），死亡率恒为 μₙ=3（n≥1）。试写出其平稳分布 πₙ（n=0,1,2,…）。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/2, 0, 1/2]]。求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃)，其中 πᵢ ≥ 0 且 π₁ + π₂ + π₃ = 1。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/3, 2/3, 0, 0], [1/4, 1/4, 1/4, 1/4], [0, 0, 0, 1]]。请完成：(1) 判断各状态的常返性与瞬过性，并说明各状态的类别（是否吸收态、是否互通）；(2) 求该链的平稳分布 π = (π₁, π₂, π₃, π₄)，使得 πP = π 且 ∑πᵢ = 1。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。试利用 C-K 方程计算两步转移概率 p₁₁⁽²⁾ 与 p₁₂⁽²⁾。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 的分布为混合分布：以概率 1/2 服从参数为 1 的指数分布，以概率 1/2 服从区间 [1,3] 上的均匀分布。（1）求 E[X]；（2）求 lim(t→∞) m(t)/t，其中 m(t)=E[N(t)] 为更新函数；（3）求 lim(t→∞) N(t)/t（几乎处处意义下）。
设 {N(t), t≥0} 是更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值为 2）。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。求极限 lim(t→∞) P(γ(t) > x)，其中 x ≥ 0。
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立、参数分别为 λ₁=3 和 λ₂=2 的泊松过程。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0）。求 N(2) 的期望与方差。
设随机过程 {X(t), t≥0} 的有限维分布族候选形式如下：一维分布为 F(t; x)=Φ(x−t)，其中 Φ 为标准正态分布函数；二维分布规定为对任意 0≤s<t，F(s,t; x,y)=Φ(x−s)·Φ(y−t)。（1）写出相容性定理中二维分布关于第二个变元的边缘相容性条件：lim(y→+∞) F(s,t; x,y) 应等于什么？（2）取 x=0，s=1，验证该条件是否成立，并求出 lim(y→+∞) F(1,3; 0,y) 的具体数值（用 Φ 的值表示并给出近似值，精确到 10⁻⁴）。
某散点数据按自然顺序记为 y₁, y₂, y₃, y₄, y₅。采用窗口宽度为3的移动平均平滑（即对内部点 i=2,3,4 取 mᵢ=(yᵢ₋₁+yᵢ+yᵢ₊₁)/3）。已知 y₁=3，且平滑后得到 m₂=4，m₃=6。试用非参数回归“局部平均”的思想，求原数据中 y₄ 的值。
在 Nadaraya-Watson 核平滑中，采用 Epanechnikov 核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，在拟合点 x₀=0 处使用带宽 h=1。现有设计点及观测值：x₁=−0.8, y₁=1；x₂=−0.4, y₂=3；x₃=0.2, y₃=5；x₄=1.5, y₄=7。请先写出各设计点在 x₀ 处的权重，再计算核平滑估计值 f̂(0)（结果用分数表示）。
设回归模型为 Y = m(x) + ε，其中 m(x) = sin(x) 是未知的光滑回归函数，ε 为零均值随机误差。现有观测数据 (xᵢ, Yᵢ)，i = 1, …, 20，xᵢ 均匀分布于 [0, π]。采用 Nadaraya–Watson 核估计，核函数取均匀核 K(u) = 1/2 当 |u| ≤ 1，否则为 0，带宽 h = π/6。请计算在点 x₀ = π/2 处的核估计值 m̂(x₀)，已知满足 |xᵢ − π/2| ≤ π/6 的观测点为 x = π/3、π/2、2π/3 共 3 个，对应响应值分别为 Y = 0.85、1.02、0.88。
设用高斯核对样本量 n=2000 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=4h⁴+5/(2000h)。完成以下计算：(1) 求 h=0.5 时的 AMISE 值；(2) 若带宽增大一倍（h=1），求此时方差主项 5/(2000h) 与原值之比，并说明方差项随带宽增大如何变化；(3) 求 h=1 时的 AMISE 值，并判断带宽从 0.5 增到 1 后估计误差是增大还是减小。
在核密度估计中，常用核函数需满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1。现有两个核函数：均匀核 K₁(u)=1/2（|u|≤1 时，否则为 0）；Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（|u|≤1 时，否则为 0）。请分别计算两个核的 ∫K²(u)du（该量与估计方差成正比）与 ∫u²K(u)du（该量反映核的平滑程度），并根据结果判断：哪个核的 ∫K²(u)du 更小？哪个核的 ∫u²K(u)du 更小？
为比较三种包装方案下某产品日销量的中位数是否相同，从三个总体分别独立抽取样本，样本量依次为 n₁=5，n₂=5，n₃=4。将14个观测值合并后求出合并中位数 m。统计落在 m 之上与 m 之下（不含恰好等于 m 的数据）的频数：甲方案在 m 之上有2个、之下有3个；乙方案在 m 之上有4个、之下有1个；丙方案在 m 之上有3个、之下有1个。试用中位数检验计算卡方统计量 χ² 的值（期望频数按各行合计的一半计算）。
设核密度估计中，偏差主项为 B(h)=0.5h²，方差主项为 V(n,h)=0.2/(nh)。现取样本量 n=400，带宽 h=0.05。请计算此时偏差主项 B(h) 与方差主项 V(n,h) 的值。
设 {X(t), t≥0} 为一随机过程，取其有限维分布族的候选形式：一维分布为 F_t(x)=Φ(x−t)（Φ 为标准正态分布函数）；二维分布对任意 s<t 定义为 F(s,t; x₁,x₂)=F_max(s,t)(x₁)·F_max(s,t)(x₂)=Φ(x₁−t)·Φ(x₂−t)。(1) 按有限维分布族的相容性要求，检验该二维分布在坐标 x₂→+∞ 时的边缘极限应等于哪个一维分布；(2) 取 s=1, t=2, x₁=0，计算该极限值与 F_s(0) 的具体数值，判断此分布族是否满足相容性定理。
设随机过程 {X(t), t≥0}，其有限维分布族为：对任意 0≤t₁<…<tₙ，(X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ) = x₁x₂⋯xₙ（当 0≤xᵢ≤1 对所有 i 成立；否则按分布函数边界取值规定处理）。请写出：(1) 该过程的一维分布函数 F(t; x)；(2) 检验该有限维分布族是否满足相容性条件，即对任意 n 及 0≤t₁<…<tₙ<tₙ₊₁，验证 lim(xₙ₊₁→∞) F(t₁,…,tₙ,tₙ₊₁; x₁,…,xₙ,xₙ₊₁) = F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)。