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设 X₁,…,Xₙ 为独立同分布随机变量，均值为 I、方差为 σ² 的蒙特卡洛积分样本，估计量为 Îₙ=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿXᵢ。其方差与标准误差随样本量 n 的变化关系正确的是哪一项？ A. Var(Îₙ)=σ²/n，标准误差按 n^(-1/2) 的速度衰减 B. Var(Îₙ)=σ²/√n，标准误差按 n^(-1/4) 的速度衰减 C. Var(Îₙ)=σ²/n²，标准误差按 n^(-1) 的速度衰减 D. Var(Îₙ)=σ²，标准误差不随 n 变化
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设一维高斯混合模型含两个等权重分量（混合系数各为 0.5），密度为 0.5·N(x;μ₁,1)+0.5·N(x;μ₂,1)。观测样本为 x₁=0, x₂=2，初始参数 μ₁=−1, μ₂=1。对隐变量 zᵢ∈{1,2} 执行 EM 算法的一次迭代：E 步计算每个样本属于分量 1 的后验责任 wᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)，M 步更新 μ₁′=∑ᵢwᵢxᵢ/∑ᵢwᵢ。则更新后的 μ₁′ 等于（ ） A. 4/(e⁴+3) B. 2/(e⁴+1) C. 4/(e⁴+2) D. 2/(e⁴+3)
设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，对其进行 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵且对角元取正值。则 L 的迹（主对角元之和）等于多少？ A. 3 + √2 B. 2 + √2 C. 2 + √3 D. 3 + √3
设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵为对称正定对角阵 A=diag(100, 0.01)，用双精度浮点数（机器精度约 ε=10⁻¹⁶）直接求解。已知解的相对误差大致被 ε·κ₂(A) 控制（κ₂ 为谱条件数）。请估计 κ₂(A) 及解的相对误差量级。A. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹² B. κ₂(A)=10⁴，相对误差约 10⁻¹⁶ C. κ₂(A)=10²，相对误差约 10⁻¹⁴ D. κ₂(A)=10⁶，相对误差约 10⁻¹⁰
设对称正定矩阵 A = [[4, 2], [2, 3]]，求其 Cholesky 分解 A = LLᵀ 中下三角矩阵 L 的元素。则 l₁₁、l₂₁、l₂₂ 依次为（ ） A. 2、1、√2 B. 2、1、2 C. 4、2、√3 D. 2、√2、√3
设某统计量 θ̂ 的 B=400 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((400))。采用百分位法构造 θ̂ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上分位点分别取第 ⌈αB/2⌉ 与第 ⌈(1−α/2)B⌉ 个次序统计量。已知 θ̂*_((10)) = 8.2，θ̂*_((390)) = 11.6，θ̂*_((20)) = 9.1，θ̂*_((380)) = 11.2。据此得到的 95% 自助置信区间为（ ） A. (8.2, 11.6) B. (9.1, 11.2) C. (8.2, 11.2) D. (9.1, 11.6)
某研究者欲检验两组观测值是否来自同一分布，将两组样本合并后随机重新分成两组各 n₁ 与 n₂ 个值，并计算两组均值之差作为统计量，重复此过程多次得到该统计量的经验分布。此检验方法属于下列哪一类？A. 参数 t 检验 B. 置换检验（置换重抽样）C. 正态性检验 D. 卡方拟合优度检验
设 {ξₙ, n≥1} 为独立同分布随机变量，P(ξₙ=1)=2/3，P(ξₙ=−1)=1/3。记 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，约定 S₀=0。下列哪一项是关于 {Fₙ} 的鞅？ A. Mₙ=Sₙ B. Mₙ=Sₙ−n/3 C. Mₙ=Sₙ²−n D. Mₙ=Sₙ²−4n/3
设目标分布为 p(x) ∝ e^(−x)（x>0），采用独立提议的 Metropolis-Hastings 算法，提议分布为 q(x′|x) = 2e^(−2x′)（与当前状态无关，即参数为2的指数分布密度）。若当前状态 x=2，提议产生候选点 x′=1，则接受该候选点的概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x)]/[p(x)q(x′)]} 等于多少？ A. 1 B. e^(−1) C. e^(−2) D. 1/2
下列关于梯度下降法与牛顿法的比较中，说法正确的是（ ） A. 梯度下降法利用二阶导数信息确定搜索方向 B. 牛顿法每步迭代需要计算并求逆 Hessian 矩阵，计算量通常比梯度下降法大 C. 牛顿法只能用于一维优化问题，梯度下降法可用于多维问题 D. 梯度下降法的收敛速度通常快于牛顿法
在某单参数高斯混合模型的一次 EM 迭代中，观测到两个样本 x₁=1，x₂=3。E 步算得两样本属于目标分量的后验责任分别为 r₁=3/4，r₂=1/4（其余权重归入另一固定分量，其参数不变）。若执行 M 步对该目标分量的均值 μ 进行更新，且责任满足归一化 ∑rᵢ=1，则更新后的 μ 值为多少？ A. 1.0 B. 1.5 C. 2.0 D. 2.5
在用Gibbs采样估计某后验分布时，运行 m=2 条平行链，每条链长 n=100。取链后半段计算得：链内平均方差 W=4，链间方差 B=400。采用 Gelman-Rubin 诊断，势缩减因子按 R̂ = √[ ((n−1)/n × W + B/n) / W ] 计算。若判定收敛的标准为 R̂ < 1.1，则关于该采样的正确结论及 R̂ 数值是： A. R̂ ≈ 1.21，已收敛 B. R̂ ≈ 1.10，恰好收敛 C. R̂ ≈ 1.00，已收敛 D. R̂ ≈ 1.41，未收敛
在 Metropolis-Hastings 算法中，设当前状态为 x，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′。已知目标密度 p(x)，则接受概率 α(x, x′) 的正确表达式为（ ） A. min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} B. min{1, [p(x)q(x′|x)] / [p(x′)q(x|x′)]} C. p(x′)q(x′|x) D. min{1, p(x′)/p(x)}，无论提议分布是否对称
设某设备的相继工作寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [2,6] 上服从均匀分布，设备损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新方程 m(t)=F(t)+∫₀ᵗ m(t−s)dF(s) 与初等更新定理，极限 lim(t→∞) m(t)/t 的值为（ ）。 A. 1/3 B. 1/4 C. 1/2 D. 4
设齐次马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，其一步转移矩阵为 P，其中第一行为 (0.5, 0.3, a)，第二行为 (b, 0.2, 0.6)，第三行为 (0.4, c, 0.1)。根据转移矩阵的定义，每行元素之和为 1，求 a×b×c 的值。A. 0.01 B. 0.02 C. 0.04 D. 0.05
设随机变量序列 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，且对任意 n，条件分布 P(Xₙ₊₁=j | X₁, X₂, …, Xₙ) 仅依赖于 Xₙ 的取值。该序列满足马尔可夫性（无记忆性）的一步转移概率 P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i) 与 n 和历史状态均无关。下列哪一项是该序列成为马尔可夫链的本质特征？ A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态 A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态
用控制变量法估计积分 I=∫₀¹ eˣdx。取 X 服从 U(0,1)，以 h(X)=e^X 为基本估计量，并选已知期望 E[X]=1/2 的随机变量 X 本身作控制变量，即用 Y=e^X+c(X−1/2) 估计。现有三个样本 X₁=0.1、X₂=0.3、X₃=0.8（对应 e^0.1≈1.10517，e^0.3≈1.34986，e^0.8≈2.22554）。先用样本协方差与样本方差估计最优系数 c，再求控制变量估计量的值（保留三位小数）。 A. 1.560 B. 1.690 C. 1.723 D. 1.718
在分层采样中，将总体划分为若干层后，需要在各层内分别抽取样本，再将各层估计量按层权重加权合并得到总体估计。这样做能降低估计方差的根本原因是：分层采样利用了总体先验信息，使每个层内部的个体（ ） A. 之间差异尽可能大，而不同层之间差异尽可能小 B. 之间尽可能相似（层内同质），而不同层之间差异尽可能大（层间异质） C. 与不同层之间的个体完全无差异，从而增大有效样本量 D. 的分布完全不相关，从而消除所有随机误差
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，M₀ 为常数。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某随机变量 M∞。试判断下列结论中必然成立的是哪一个。 A. E[M∞] = M₀ 且 Mₙ 依 L¹ 收敛于 M∞ B. E[M∞] ≤ M₀，但 Mₙ 未必依 L¹ 收敛于 M∞ C. E[M∞] ≥ M₀ D. Mₙ 几乎必然收敛到常数 M₀
设 {Xₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的下鞅，且 E[Xₙ]<∞ 对每个 n 成立。根据杜布分解定理，可将 Xₙ 分解为 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中下列结论正确的是：A. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀=0 B. {Mₙ} 是下鞅，{Aₙ} 是可料递减过程且 A₀=0 C. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是任意适应过程且 A₀=0 D. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀ 可取任意实数