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设某机器的相继使用寿命 X₁,X₂,… 独立同分布，均在区间 [1,3] 上服从均匀分布，损坏后立即更换，{N(t), t≥0} 为对应更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，更新速率极限 lim(t→∞) m(t)/t = ____。
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用蒙特卡洛方法估计定积分 I=∫₀¹ e^x dx 时，取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上独立均匀随机数，按样本均值法应使用的估计量为 Î=(1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ g(Uᵢ)，则其中被积函数对应的 g(x)=____
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (5X_n + 3) (mod 16)，种子 X₀ = 1。记 X_n 为第 n 次迭代后的状态。经逐次迭代可得序列，则使 X_n = X₀ 成立的最小正整数 n = ____；该发生器的周期长度为 16，由 full period 定理条件 a ≡ 1 (mod 4)、c 与 16 互素、c 为奇数可知其达到最大周期，据此该发生器输出序列在重复前可产生互不相同的均匀伪随机数个数为 ____。
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ aX_n + c (mod m)，参数取 a=5，c=3，m=17。已知发生器输出的第二个数为 X₁=9，则由它反推出的初始种子 X₀=____（即满足递推关系的 0≤X₀<17 的唯一整数）。
线性同余发生器的递推公式为 xᵢ₊₁ = (a·xᵢ + c) mod m。若取 a = 5，c = 3，m = 8，种子 x₀ = 1，则由该发生器产生的下一个均匀随机数 x₁ = ____。
设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，M₀=0，且 E[|Mₙ|]<∞ 对每个 n 成立。设 T 为关于 {Fₙ} 的有界停时（存在常数 N 使 T≤N a.s.）。由鞅性质，对每个 n≥0 有 E[Mₙ]=____；由可选停时定理，M_T 的数学期望 E[M_T]=____。
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=3)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅。虽然 sup E[Mₙ]=∞、鞅不满足 L¹ 有界条件，但由独立重复试验中 Xᵢ=0 几乎必然发生无穷多次可知 Mₙ 几乎必然收敛，其极限 M∞ = ____。
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的鞅，且 sup E[Mₙ²] ≤ 25。由 L² 有界鞅的收敛定理，存在随机变量 M∞ 使得 Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，同时均方收敛，即 E[(Mₙ−M∞)²] 收敛到 ____。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=3, λ₁=6（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=8。由平稳分布满足的细致平衡关系 πₙλₙ=πₙ₊₁μₙ₊₁ 及归一化条件，可得平稳分布中的 π₂=____。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=1（n≥0），死亡率 μₙ=n+1（n≥1）。已知其平稳分布存在，则 π₀=____，π₂=____。（结果用 e 表示）
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -5, 3, 2; 1, -4, 3; 2, 6, -8 ]（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）。由转移概率与 Q 矩阵的关系，lim(t→0+) p₁₂(t)/t = ____，lim(t→0+) [1−p₀₀(t)]/t = ____。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。将区间 [0,3] 作 n 等分，分点为 tₖ=3k/n（k=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ₖ₌₁ⁿ [B(3k/n)−B(3(k−1)/n)]²。则依概率（从而均方）极限 lim(n→∞) Vₙ = ____。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,…}，出生率 λₙ=n+1（n≥0），死亡率 μₙ=2(n+1)（n≥1）。若其平稳分布 {πₙ, n≥0} 存在，则 π₂=____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/2, 0, 1/2], [0, 1, 0]]。若该链的平稳分布为 π = (π₁, π₂, π₃)，则 π₃ = ____
设 {N₁(t), t≥0} 与 {N₂(t), t≥0} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=5 与 λ₂=7（单位：次/小时）。令 N(t)=N₁(t)+N₂(t)（t≥0），则 {N(t), t≥0} 是强度为 ____ 的泊松过程；现将 N(t) 中每个事件独立地以概率 p=1/4 标记为甲类，则甲类事件计数过程是强度为 ____ 的泊松过程。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=3x², x∈[0,1] 抽样，选取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1 作为建议分布，取常数 c 使得 c·g(x)≥f(x) 对一切 x 成立。则常数 c=____，每次试验的接受概率为____（用分数表示），平均需要生成的候选均匀随机数个数为____（用分数表示）。
设 T 是 [0,1) 上的旋转映射：T(x) = (x + α) mod 1。由伯克霍夫遍历定理，当且仅当 α 为____数时，T 关于 Lebesgue 测度是遍历的；此时对任意可积函数 f，时间平均 (1/n)∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ f(Tᵏx) 几乎处处收敛于空间平均 ∫₀¹ f(x)dx。取 α = √2，f(x) = x²，则该时间平均的几乎处处极限为____。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，令 X(t)=B(t²)，t≥0。若 0<s<t，则 Cov(X(s),X(t))=____（用 s、t 的表达式表示）；当 s=2、t=3 时，该协方差值为 ____。
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，且 sup E[Mₙ] = 4。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到一个极限 M∞，此时 E[M∞] ____ 4（填“>”“=”或“≤”）。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/4, 3/4], [2/3, 1/3]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。