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用梯度下降法极小化一元函数 f(x)=x³/3−x²，其导数 f′(x)=x²−2x。取初始点 x₀=3，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。则第二步迭代所得的点 x₂=____。
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设二维目标分布定义为：X 的边缘先验为 N(0, 4)，给定 X=x 时 Y 的条件分布为 N(2x, 1)。用 Gibbs 采样从该分布抽样，迭代次序为先更新 X 再更新 Y。设初始值 Y₀=1，则第一次更新时需从条件分布 X|Y=1 抽样，该条件分布为正态分布，其方差为 ____。
设二维正态总体 (X,Y) 服从 N(0,0,1,1,ρ)，相关系数 ρ=1/3。对 (X,Y) 施行 Gibbs 采样：每次完整迭代先从条件分布 X|Y=y 抽取 x，再从条件分布 Y|X=x 抽取 y。由正态条件分布公式，X|Y=y 服从均值为____、方差为____的正态分布（方差写成分数）；若当前迭代得到的 y 值为 3，则下一步抽取的 X 的条件期望为____。
在 Metropolis-Hastings 算法中，从当前状态 x 出发，由提议分布 q(x′|x) 产生候选点 x′ 后，需以概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]} 接受候选点。若提议分布为对称分布，即 q(x′|x) = q(x|x′)，则接受概率简化为 α(x, x′) = min{1, ____}。
设 X₁, X₂, …, X₄₈ 相互独立且同服从区间 (0,1) 上的均匀分布，记 S₄₈ = ∑ᵢ₌₁⁴⁸ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₄₈ 近似服从正态分布，则 P(S₄₈ > 27.5) ≈ ____（用标准正态分布函数 Φ 表示数值，已知 Φ(1.75) = 0.9599）。
设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值 m=E[X(t)]=2，相关函数 R(τ) 满足 R(τ)→0（τ→∞）。则该过程的均值具有遍历性，即时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 当 T→∞ 时均方收敛于 ____；若 R(τ)=4e^(-3|τ|)，则该过程均值为遍历的（填“是”或“否”）：____。
用控制变量法估计 I=∫₀¹ x²dx。抽取 X₁,X₂,X₃ 独立服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.5、0.9。取控制变量 W=X，已知 E[W]=1/2，且 Cov(x²,X)>0。已知原始蒙特卡洛估计高估了真值，则控制变量修正估计为 h̄−(W̄−E[W])=____（用分数表示）。
用逆变换法生成离散分布随机数：设随机变量 X 的分布律为 P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.5。设 U~U(0,1)，按顺序划分区间，若 0.2<U≤0.5 则取 X=____。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤4}。由布朗运动的反射原理，P(M ≥ 2) = 2P(B(4) ≥ 2) = ____（用标准正态分布函数 Φ 表示）。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。布朗运动的每一条样本路径在区间 [0,∞) 上是 t 的____函数，且对任意固定的 t≥0，B(t) 服从正态分布。特别地，P(lim(h→0) B(t+h) − B(t) = 0) = ____。
设样本统计量 θ̂=5.00，基于 B=1000 次自助重抽样得到的自助估计均值为 5.12，自助估计的样本方差为 0.09。按自助法，偏差的估计为自助估计均值与 θ̂ 之差，标准误的估计为自助估计方差的平方根。则偏差估计为 ____，标准误估计为 ____。
设 f(x)=x²，从 x=1 出发沿下降方向 d=-1 作回退线搜索：初始步长 t₀=8，每次迭代令 t←t/2，接受准则为 Armijo 条件 f(x+td) ≤ f(x)+0.9t·f'(x)d。从 t₀ 开始依次检验并减半，直到条件首次满足为止。则共需将步长减半____次，最终被接受的步长 t=____。
自助法（Bootstrap）对经验分布进行重抽样时，最关键的操作特征是：从容量为 n 的原始样本中____地抽取 n 个观测值，构成一个自助样本；若重复 B 次，标准误的估计直接取 B 个自助统计量的样本标准差。
在求解无约束优化问题时，梯度下降法（又称最速下降法）仅利用目标函数的一阶导数信息确定搜索方向，其收敛速度通常为线性收敛；而牛顿法利用目标函数的二阶导数（Hessian 矩阵）构造搜索方向，在最优解附近通常具有____收敛速度。对于凸二次函数，牛顿法理论上只需____次迭代即可到达精确最优解。
某研究小组用Metropolis-Hastings算法从目标分布中抽取样本以估计后验均值。链长为 n=10000（舍弃预烧期后），样本方差为 s²=5。经检验，估计后验均值时样本的集成自相关时间为 τ=5（已按初序单调估计量法估计，保守起见可直接用于误差计算）。若用 MCSE = √(s²·τ/n) 估计均值的蒙特卡洛标准误差，则该后验均值估计的 MCSE = ____。
设 X₁, X₂, …, X₁₀₀ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/2 的指数分布（均值 E(Xᵢ)=2，方差 D(Xᵢ)=4），记 S₁₀₀=∑ᵢ₌₁¹⁰⁰ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，P(S₁₀₀≤220) 近似等于 Φ(____)。
设 {X(t), t≥0} 为宽平稳过程，E[X(t)]=0，自相关函数 R_X(τ)=4e^(−3|τ|)。按相关函数遍历性的均方判据，需考察积分 C=∫₋∞^(+∞) (R_X(τ)−0)² dτ 是否有限。则该积分 C=____
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(5)−B(2)，则协方差 Cov(X,Y) = ____。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，B(t)～N(0,t) 且增量相互独立。记 M = max{B(s): 0≤s≤1}。利用布朗运动的对称性与 M 的分布函数 P(M≤a)=2Φ(a)−1（a>0，Φ 为标准正态分布函数），则 P(M≤1) = ____（用 Φ 的表达式表示，并给出四位小数值）。
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(3)−B(1)，Y = B(7)−B(2)。由布朗运动的协方差结构 Cov(B(s),B(t)) = min(s,t)，可算得 Cov(X,Y) = ____。