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某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，下列算法选择中最合适的是： A. 直接逆变换抽样，因归一化常数未知仍可逐点归一化 B. 网格法枚举，维度高时网格点数随维数线性增长 C. 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC），构造平稳分布为 p(θ|x) 的马尔可夫链 D. 仅用牛顿-拉夫森法求众数，无需抽样即可得全部后验矩
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某统计计算中需解线性方程组 Ax=b，其中 A=diag(1,1000)。按二范数计算 A 的条件数，并判断当 b 的相对扰动为 10⁻⁶ 时，解的相对误差上界是否超过 10⁻³。
矩阵 A 的奇异值分解为 A = U diag(5, 2) Vᵀ，其中 U、V 的列向量分别为正交向量。按奇异值分解的最佳低秩近似性质，A 的最佳秩 1 近似与 A 的 Frobenius 范数误差为多少？ A. 0 B. 2 C. 5 D. √29
用 Gauss–Seidel 迭代法求解线性方程组 4x₁+x₂=9，x₁+3x₂=7，取初值 x₁⁽⁰⁾=x₂⁽⁰⁾=0，并按先更新 x₁、再更新 x₂ 的顺序迭代。第二次迭代所得 x₁⁽²⁾+x₂⁽²⁾=____。
设线性方程组 10x₁+2x₂=14，2x₁+10x₂=24，其 Jacobi 迭代格式为 x₁^(k+1)=(14−2x₂^(k))/10，x₂^(k+1)=(24−2x₁^(k))/10。取初始向量 x⁽⁰⁾=(0,0)^T，用 Jacobi 迭代法迭代一次，得 x⁽¹⁾=(____, ____)^T。
设设计矩阵 A = [[1,1],[1,3],[1,5]]，观测向量 b = (2,4,6)^T。记 A 的 QR 分解为 A = QR，其中 Q 为 3×2 列正交矩阵，R 为 2×2 上三角矩阵且对角元为正。利用该 QR 分解求最小二乘解 x̂ 的第二个分量，结果为 ____。
设统计量 θ̂ 的自助重抽样次数 B=1000，将 1000 个自助估计值从小到大排序为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。若采用百分位法构造 θ 的 90% 置信区间，取左尾概率为 0.05、右尾概率为 0.05，则区间下限为 θ̂*_((___))（只需填写排序编号即可）。
某统计量 θ̂ 的自助重抽样估计值共 B=240 个，按从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，并规定经验分位数 Q(p)=θ̂*_(⌈240p⌉)。已知 θ̂*_(6)=2.14、θ̂*_(234)=3.87，则该置信区间为____。
设 f(x,y)=3x²+2y²+4xy，取初始点 x₀=(2,−1)ᵀ，用牛顿法求极小点。已知梯度 ∇f=(6x+4y, 4x+4y)ᵀ，Hessian 矩阵 H=[[6,4],[4,4]]。经一次牛顿迭代 x₁=x₀−H⁻¹∇f(x₀) 得到的迭代点为（ ）。 A. (1,0)ᵀ B. (0,0)ᵀ C. (−1,1)ᵀ D. (2,1)ᵀ
某统计量在原样本上的估计值为 3，4 次自助重抽样得到的统计量估计值依次为 2、2、6、6。以这 4 个估计值的均值减去原样本估计值定义偏差估计，并以这 4 个估计值的样本标准差估计标准误，则（偏差估计，标准误估计）= ____。
自助法（Bootstrap）的核心思想是用下列哪个分布来近似未知的总体分布，从而估计统计量的抽样分布？ A. 正态分布 B. 原始样本对应的经验分布 C. 均匀分布 D. 二项分布
设目标函数 f(x)=(x−2)²，从 x₀=10 出发以固定步长 α=1/4 作梯度下降，迭代为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。以 |f′(xₖ)|≤0.6 作为停止准则。判断该迭代是否收敛；若收敛，求其极限，并求首次满足停止准则的迭代下标 k。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均服从参数 λ=2 的指数分布，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，计数函数 N(t)=max{n: Sₙ≤t}。试求：(1) P(N(3)=4)；(2) m(3)=E[N(3)]；(3) E[S_{N(3)+1}]。
对二次函数 f(x)=3x²−6x+5，从 x₀=0 出发，采用精确 Hessian 的牛顿法更新一次，所得 x₁ 为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设 f(x₁,x₂)=½x₁²+2x₂²，初始点 x₀=(1,−1)ᵀ。牛顿法取方向 p₀=−[∇²f(x₀)]⁻¹∇f(x₀)，拟牛顿法取方向 p₀=−B₀∇f(x₀)，其中 B₀=I。按牛顿法、拟牛顿法的顺序，两种方法的方向分别为 ____ 和 ____。
设隐变量模型中 z∈{1,2}，观测值 x₁=2 与 x₂=4，两成分方差 σ²=1 已知，成分均值 μ₁ 待估（μ₂ 固定为 0）。EM 算法某次 E 步算得责任：γ₁=P(z₁=1|x₁)=0.75，γ₂=P(z₂=1|x₂)=0.25。Q 函数中与 μ₁ 有关的部分为 ∑ᵢ γᵢ·[−(xᵢ−μ₁)²/2]。则 M 步求得的 μ₁ 新估计值为多少？ A. 2.5 B. 2.0 C. 3.0 D. 1.5
考虑两个分量的伯努利混合模型，分量1的成功概率为p₁，混合权重为π₁；分量2参数在本轮M步中固定。观测为y₁=1、y₂=0、y₃=1，当前参数下E步得到分量1的责任度r₁=0.8、r₂=0.3、r₃=0.6。若本轮同时更新π₁与p₁，哪一项正确描述了EM步骤及更新结果？ A. E步最大化完整数据对数似然，M步计算责任度；π₁=17/30，p₁=14/17 B. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=17/30，p₁=14/17 C. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=14/17，p₁=17/30 D. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化观测数据对数似然；π₁=17/30，p₁=7/10
某研究者用平稳马尔可夫链的 n=600 个连续样本估计 Eπ[g(X)]。样本方差为 6，样本自相关估计为 ρ₁=0.5、ρ₂=0.25；按截断到滞后 2 的估计，令其余滞后自相关为 0。估计该样本均值的标准误约为多少？ A. 0.100 B. 0.158 C. 0.250 D. 0.395
设 X₁, X₂, …, X₆₄ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/4 的指数分布，记 S₆₄=∑ᵢ₌₁⁶⁴ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₆₄ 近似服从正态分布 N(μ, σ²)，则 μ=____，σ²=____；从而概率 P(S₆₄<272)≈Φ(z)（其中 Φ 为标准正态分布函数），则 z=____（填小数）。
设 f(x) = x³ − 3x + 1，当前点 x₀ = 2，下降方向 d = −1。采用回溯线搜索，取初始步长 α₀ = 3，Armijo 条件为 f(x₀ + αd) ≤ f(x₀) + cα∇f(x₀)ᵀd，其中 c = 1/3。每次将步长折半 α ← α/2，直到满足条件为止。则被接受的步长为 α = ____。