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设铜中自由电子数密度 n=8.5×10²⁸ m⁻³，电子质量 m=9.11×10⁻³¹ kg，普朗克常量 h=6.63×10⁻³⁴ J·s。将铜中传导电子视为零温简并费米气体，试计算：（1）费米能量 E_F；（2）零温费米气体的简并压强 p，已知 p=(2/5)nE_F。（结果保留两位有效数字）
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把氨气分子（NH₃）视为刚性分子（振动自由度因温度较低而冻结，不参与能量均分），气体处于温度 T=300 K 的平衡态。（1）指出每个氨分子参与能量均分的自由度总数；（2）由能量均分定理求每个分子的平均能量；（3）计算 1 mol 氨气（不考虑分子间相互作用，不计分子体积）的内能 U，R=8.31 J/(mol·K)。
某三维经典理想气体中，每个分子的能量为 ε = (p_x² + p_y² + p_z²)/(2m)，其中 m 为分子质量。设分子的动量三个分量 p_x、p_y、p_z 为广义坐标 h·dp_x·dp_y·dp_z 对应的相格内自由度。已知玻尔兹曼常数为 k，温度为 T。求单分子（平动）配分函数 Z₁ 的表达式。
设某系统由 3 个可分辨的近独立粒子组成，单粒子能级 ε₁<ε₂<ε₃<ε₄ 均为非简并能级。某宏观态对应的粒子数分布为 (n₁, n₂, n₃, n₄)=(2, 1, 0, 0)，即两个粒子占据 ε₁ 能级，一个粒子占据 ε₂ 能级。利用玻尔兹曼统计中可分辨粒子系统微观态数的计算方法，求该宏观态的微观态数 Ω。
设有 4 个可分辨的近独立粒子，每个粒子等概率地处于两个体积相等的格子（左格或右格）之一。依据等概率原理，系统的每个微观态出现的概率相等。（1）求系统的总微观态数，并求宏观分布「左格 3 个粒子、右格 1 个粒子」出现的概率；（2）在已知粒子 a 处于左格的条件下，求宏观分布「左格 3 个粒子、右格 1 个粒子」出现的条件概率。
某纯物质在固定压强下，固相与液相的化学势均可近似为温度 T（K）的线性函数（单位 J/mol）：固相 μ_s(T) = -16000 - 40T，液相 μ_l(T) = -13800 - 48T。(1) 写出固、液两相达到相平衡时两相化学势应满足的条件；(2) 由该条件求出固液平衡（熔化）温度 T_m；(3) 判断在 T = 300 K 时该物质稳定存在的相，并计算该温度下两相化学势的数值加以说明。
某简单可压缩系统的自由能（特性函数）为 F(T,V) = 500 - 30T - (3/2)T² - (1/2)V²，其中 T 单位为 K，V 单位为 m³，F 单位为 J。已知 dF = -SdT - pdV。试求系统处于 T = 10 K、V = 2 m³ 状态时的：(1) 熵 S；(2) 压强 p；(3) 内能 U = F + TS。
某物质在压强 p₁=1.0×10⁵ Pa 下发生固-液一级相变，相变温度 T₁=300 K，摩尔相变潜热 L=6.0×10³ J/mol，相变前后摩尔体积差 ΔV=1.0×10⁻⁶ m³/mol。试利用克拉珀龙方程计算相变平衡曲线的斜率 dp/dT（单位：Pa/K）。
已知某均匀物质的物态方程为 v = RT/p（摩尔体积），内能满足 (∂u/∂v)_T = T(∂p/∂T)_v − p。利用麦克斯韦关系 (∂s/∂v)_T = (∂p/∂T)_v，求摩尔熵差 Δs = s(T, v₂) − s(T, v₁) 的表达式，并计算该物质从 (T=300K, v₁=0.02 m³/mol) 等温膨胀到 v₂=0.05 m³/mol 时的摩尔熵变（R = 8.31 J/(mol·K)）。
一热机工作于高温热源 T₁=500 K 与低温热源 T₂=300 K 之间，经历一个循环后从高温热源吸热 1000 J，向低温热源放热 700 J。试利用克劳修斯不等式判断该热机的工作循环是可逆循环还是不可逆循环，并说明理由。
在恒定压强下，质量为 0.8 kg 的某种油吸收热量 1.76×10⁴ J 后，温度由 25 ℃ 升高到 50 ℃。设在此温度区间内油的比热容为常量。求：(1) 该油的比热容；(2) 若改用 0.4 kg 的同种油，在恒压下吸收 8.8×10³ J 的热量，其温度将升高多少摄氏度？
一定质量的理想气体在某一过程中从外界吸收热量420 J，同时气体对外界做功160 J。求该气体内能的增量；并写出此过程中热力学第一定律的表达式。
低能粒子被某球对称势场散射，仅 l=0 与 l=1 两个分波有显著贡献，其余各分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1，s 波相移 δ₀ = π/4，p 波相移 δ₁ = π/6。由分波法求总散射截面 σ（单位与 a₀² 一致，其中 a₀ 为题中长度单位），并写出各分波对截面的贡献。
把 2.0 kg 温度为 20°C 的水在恒压下加热到 70°C，水的比热容取 c = 4.2×10³ J/(kg·K)，且在此温度区间内视为常量。求水吸收的热量。
质量为 m=1 的粒子（取 ħ=1）被球对称高斯势 V(r)=V₀e^(-μr²) 散射，其中 V₀=4/√π，μ=1。已知在一级玻恩近似下，q=2k·sin(θ/2)，散射振幅为 f(θ)=-(2m/(ħ²q))∫₀^∞ rV(r)sin(qr)dr，并利用积分 ∫₀^∞ re^(-μr²)sin(qr)dr=(q√π)/(4μ³)·e^(-q²/(4μ²))。求前向（θ=0）散射振幅 f(0) 及相应微分截面 dσ/dΩ 在 θ=0 处的值。
低能粒子被某球对称势场散射，仅 s 波（l=0）分波有显著贡献，其余分波相移可忽略。已知入射波数 k = 1/2，s 波相移 δ₀ = π/4。由分波法求总散射截面 σ。
三个全同玻色子组成体系，单粒子归一化态 φ_a 与 φ_b 彼此正交，其中两个玻色子处于 φ_a 态，一个处于 φ_b 态。依据全同粒子的不可区分性，体系总波函数须写成对称形式 Ψ(q₁,q₂,q₃)=N∑_P P[φ_a(q₁)φ_a(q₂)φ_b(q₃)]，求和遍及所有不同排列。(1) 求归一化常数 N；(2) 对任一指定粒子（如 q₁）测量，求其处于 φ_a 态的概率，并说明该概率对三个粒子为何相同。
某量子体系 H₀ 的某能级 E⁽⁰⁾ 为二重简并，取简并子空间正交归一基矢 |1⟩、|2⟩。加入微扰 H′ 后，其在该子空间中的矩阵元为 H′₁₁=ε，H′₂₂=3ε，H′₁₂=H′₂₁=√3ε（ε>0）。求：（1）写出久期方程；（2）求能量的一级修正 E⁽¹⁾ 的两个可能值；（3）求对应的零级修正波函数（用 |1⟩、|2⟩ 表示并归一化）。
一维谐振子（取 ħ=m=ω=1，能量单位为 ħω），哈密顿量 H₀=p²/2+x²/2，基态波函数 ψ₀(x)=π^(-1/4)·e^(-x²/2)，基态能量 E₀^(0)=1/2。现施加微扰 H′=λx⁴（λ 为小量）。用非简并定态微扰论求基态能量的一级修正 E₀^(1)（提示：⟨x⁴⟩=3/4 对应归一化基态）。
两个自旋被忽略的全同费米子分别占据正交归一的单粒子轨道 φa 与 φb，体系空间波函数为 Ψ(r₁,r₂)=(1/√2)[φa(r₁)φb(r₂)−φb(r₁)φa(r₂)]。(1) 验证交换算符 P₁₂ 作用于 Ψ 满足 P₁₂Ψ=λΨ，写出本征值 λ；(2) 计算两粒子出现在空间同一点（即 r₁=r₂=r）的概率密度 |Ψ(r,r)|²，并据此说明该结果体现的物理原理。