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设有一组样本观测数据 (xᵢ, yᵢ)：(1, 2)、(2, 1)、(3, 5)。采用 N-W 核回归估计，核函数取均匀核 K(t)=1（当 |t|≤1），K(t)=0（其他），带宽 h=1。求回归函数在 x=2 处的估计值 m̂(2)。
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在局部线性回归中，采用核权函数 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)。现有设计点 x₁=1, x₂=1.5, x₃=2.5, x₄=3，对应观测值 y₁=1, y₂=2, y₃=5, y₄=8。在拟合点 x₀=2 处： (1) 取带宽 h=1.5，计算各设计点的权 wᵢ（用分数表示），并求局部线性拟合值 ŷ(x₀)； (2) 取带宽 h=1，指出落入窗口内的设计点，并求此时的拟合值 ŷ(x₀)； (3) 比较两个拟合值，说明带宽增大时拟合曲线平滑程度的变化。
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(0,1), (1,3), (2,4), (3,7), (4,8)。在 x₀=2 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取 Epanechnikov 核 K(u)=0.75(1−u²)（|u|≤1，否则 K(u)=0），带宽 h=2，即权 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)。求在 x₀=2 处的局部线性回归估计值。
设有来自某连续总体的 200 个观测值 x₁,…,x₂₀₀，将区间 [0,50) 等分为 10 个宽度 h=5 的组格作直方图密度估计。已知落在组格 [20,25) 内的观测值个数为 18。请写出该组格上直方图密度估计值的计算式并求出结果；若某组格上的直方图密度估计值恰为 0.008，求该组格内的观测值个数。
设有一组样本观测值 x₁=1，x₂=2，x₃=4，采用高斯核 K(u)=(1/√(2π))e^(−u²/2)（其中 √(2π)≈2.5066），带宽 h=1 作核密度估计。请写出核密度估计 f̂(x) 的表达式，并计算 f̂(2) 的值（结果保留 4 位小数；参考值：e^(−1/2)/√(2π)≈0.2420，1/√(2π)≈0.3989，e^(−2)/√(2π)≈0.0540）。
设核密度估计中常用的三个核函数如下：均匀核 K₁(u)=1/2（当 |u|≤1，否则为 0）；Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（当 |u|≤1，否则为 0）；高斯核 K₃(u)=(1/√(2π))·e^(−u²/2)。请分别计算 K₁(0.5)、K₂(0.5)、K₃(0) 的值。
为比较三种不同教学方法下学生成绩的分布位置是否一致，从三个班级分别抽取独立样本，容量为 n₁=8，n₂=6，n₃=7，合并样本容量为 21。求出合并样本中位数 M₀ 后，统计各组中大于 M₀ 的观测个数依次为 a₁=6，a₂=2，a₃=3（各组均无观测值恰等于 M₀）。请用中位数检验构造统计量：列出对应的列联表（含大于/不大于 M₀ 的各组频数），计算期望频数，并求出检验统计量 χ² 的值（保留两位小数）及其自由度。
某研究比较三个独立样本的总体中位数是否相同，拟采用中位数检验。三组样本量分别为 n₁=12，n₂=15，n₃=9，将数据合并后求得共同中位数 M，统计得各组超过 M 的观测数分别为 5、8、3。该检验的应用条件之一是：在原假设下，每个组落入中位数某一侧的期望频数应不小于 5。请计算三组各自的期望频数（期望频数 = nᵢ/2），并判断哪个组不满足该条件、其期望频数是多少。
设有两个独立样本：样本X容量m=4，样本Y容量n=3。将两样本共7个观测值合并后按从小到大排秩，得样本X的秩分别为1、4、5、7。(1) 求Wilcoxon秩和统计量W=X样本秩和的值；(2) 在零假设H₀（两分布相同）下，利用对称性求概率P(W=17)，答案用分数表示。
设有两个独立样本，样本X的容量m=3，样本Y的容量n=4。将两样本合并后按从小到大排秩，得样本X的秩分别为2、5、7。求Wilcoxon秩和统计量W的值。
某质检部门抽取6件产品，按两种评定标准分别排序，得到秩如下：标准X的秩依次为1,2,3,4,5,6；标准Y的秩依次为3,6,1,5,2,4。设同序对（对任意i<j，两标准中第i件秩均小于第j件秩的对）数为C，异序对数为D。要求：(1) 分别求出C与D的值；(2) 按定义 τ=(C−D)/[n(n−1)/2] 计算这两个标准之间的Kendall tau相关系数 τ。
某快递驿站宣称顾客取件的四种包裹类型（日用品、食品、文件、服装）件数之比为 2:1:1:2。随机抽取某日 60 件取件记录，四类包裹的件数依次为 16、12、14、18。在拟合优度检验中，以该比例成立为原假设，显著性水平 α=0.05（χ²(3) 的 0.95 分位数为 7.815），求卡方统计量的值，并判断是否拒绝原假设。
某奶茶店记录了连续一段时间内90位顾客的支付方式，分为三类：扫码支付、刷卡支付、现金支付。原假设 H₀ 规定三种支付方式被选择的概率均为 1/3。统计得扫码支付 38 人、刷卡支付 27 人、现金支付 25 人。取检验统计量 χ² = ∑(Oᵢ−Eᵢ)²/Eᵢ，其中 Oᵢ 为观测频数，Eᵢ 为原假设下的期望频数。请计算该统计量的值，并写出其近似分布的自由度。
设对6名运动员进行两项体能测试，成绩秩次为：X的秩依次为1,2,3,4,5,6；Y的秩依次为2,4,1,6,3,5。请计算这两组秩次的Kendall tau相关系数τ（结果用最简分数表示）。
为比较三家车间（甲、乙、丙）日产量水平是否一致，从每家车间各随机抽取10个日产量数据，将30个数据合并后求出其中位数 m。统计各车间数据落在 m 之上与之下（不含等于 m 者）的个数如下：甲车间：m 之上7个，m 之下3个；乙车间：m 之上5个，m 之下5个；丙车间：m 之上3个，m 之下7个。请用中位数检验（χ² 检验）判断三个总体中位数是否有差异：在显著性水平 α=0.05 下，计算统计量 χ² = ∑(O−E)²/E 的值（自由度2，临界值 χ²₀.₀₅(2)=5.991），并作出结论。
某电商平台为考察顾客性别与是否购买某新款商品是否有关，随机抽取100名顾客的购物记录，得到2×2列联表：男性且购买者20人，男性未购买者30人，女性且购买者30人，女性未购买者20人。请计算独立性检验的χ²统计量（保留2×2列联表的标准公式 χ² = n(ad−bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]），并判断在显著性水平0.05（临界值χ²₀.₀₅(1)=3.841）下能否认为性别与购买行为不独立。
某质检部门为考察一种校准装置的效果，随机抽取 7 台仪器，分别测出校准前后的示值误差，得到配对差值（后减前，单位：微米）：+0.5, -1.5, +1.5, -2, +3, -0.5, +2.5。请按 Wilcoxon 符号秩检验的方法构造符号秩统计量：先将差值取绝对值并从小到大排秩，遇到相同绝对值取平均秩，再求正差值对应的秩之和 W+。求 W+ 的值。
设两组独立样本观测值如下：样本X（来自总体X）：6.2, 7.1, 8.4, 9.0；样本Y（来自总体Y）：5.8, 7.5, 8.0, 8.7, 9.6。将两组数据合并后按从小到大排秩（无相同观测值）。按Wilcoxon秩和检验的基本思想，以样本X的观测值在合并样本中的秩之和作为统计量W。请计算W的值，并求出在“两总体位置相同”的原假设下，样本容量为m=4、n=5时W的数学期望E(W)。
设有两独立样本，样本X的容量m=2，样本Y的容量n=4。将两样本合并后按从小到大排秩，得样本X的秩分别为3、6。求Wilcoxon秩和统计量W的值。
在响应面方法中，当真实响应与各因素之间的函数关系未知时，通常在因素空间的局部区域内用低阶多项式作为响应函数的近似。现考察一个含3个因素（x₁、x₂、x₃）的完全二阶多项式响应面模型：该模型包含一个常数项、三个线性项（x₁、x₂、x₃）、三个平方项（x₁²、x₂²、x₃²）以及所有的交叉乘积项（形如 xᵢxⱼ，i<j）。请确定：该模型中交叉乘积项的个数，以及模型中待估回归系数的总个数。