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在游程检验中，设序列含 n₁ 个 A 与 n₂ 个 B，游程总数为 R。当 n₁、n₂ 都较大时，用正态近似检验随机性，所构造的统计量 Z=(R−E(R))/√(Var(R))（其中 E(R)=2n₁n₂/(n₁+n₂)+1）近似服从的分布是____。
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设 {Xₙ, n≥0} 为适应于滤流 {Fₙ} 的下鞅，且 X₀=0，E[Xₙ]<∞。由杜布分解定理，存在可料递增过程 {Aₙ} 使得 A₀=0，且 {Xₙ−Aₙ, n≥0} 为鞅。若已知 Xₙ 的条件期望满足 E[Xₙ | F_{n−1}] = X_{n−1} + 2，则 Aₙ − A_{n−1} = ____。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动。对区间 [0,1] 作 n 等分，分点为 tᵢ=i/n（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。则 Vₙ 依概率收敛于 ____，且 E[Vₙ]=____。
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [-4 4; 2 -2]（即 q00=-4，q01=4，q10=2，q11=-2），初始分布 P{X(0)=0}=1。记 p00(t)=P{X(t)=0 | X(0)=0}。由柯尔莫哥洛夫向前方程，p00(t) 满足微分方程 p00′(t) = p00(t)q00 + p01(t)q10，其中 p01(t)=1-p00(t)，初始条件 p00(0)=1。解得 p00(t) = ____（用 t 的表达式表示）。
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-2, q₁₂=2；q₂₁=1, q₂₂=-1；q₃₂=3, q₃₃=-3；q₄₁=2, q₄₄=-2，其余非对角元为0。写出其嵌入链（跳跃链）：由状态1必跳到2，由状态2必跳到1，由状态3必跳到2，由状态4必跳到1。则该嵌入链的唯一闭类为 {1,2}，其平稳分布为 π₁=____，π₂=____（状态3、4的平稳概率为0）。
设生灭过程的状态空间为 {0,1}，出生率 λ₀=2，死亡率 μ₁=3。若该过程的平稳分布存在，则平稳分布中处于状态 1 的概率 π₁=____。
设有限马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移矩阵为：第1行 (1/2, 1/2, 0, 0)；第2行 (1/3, 2/3, 0, 0)；第3行 (0, 0, 1/2, 1/2)；第4行 (0, 1/2, 0, 1/2)。则该链中常返状态共有____个，瞬过状态为____（按从小到大填写状态编号）。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，一步转移概率为：p₀₁=1；p₁₀=1/2，p₁₂=1/2；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₃=1。则状态 2 属于____状态（填“常返”或“瞬过”），该链的常返状态个数为____个。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间 I={0,1}，转移矩阵 P=[[0,1],[1,0]]。由任意状态出发，链经过偶数步后必定返回原状态，故状态 0 与状态 1 的周期均为 ____。因此对任意 i,j∈I，lim(n→∞) P⁽ⁿ⁾ᵢⱼ = ____（填：存在或不存在）。
设更新过程中到达间隔时间 X 服从区间 (1,3) 上的均匀分布，m(t) 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) [m(t) − t/2] = ____。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，其更新间隔服从均值为 1/λ 的指数分布。记 γ(t) 为 t 时刻的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。由更新定理，对任意 x≥0，极限 lim(t→∞) P(γ(t) ≤ x) = ____（用 λ 和 x 表示）。
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3 的泊松过程，第 i 次事件发生时产生一笔大小为 Xᵢ 的收益，X₁,X₂,… 独立同分布且与 {N(t)} 独立，P(Xᵢ=1)=1/3，P(Xᵢ=2)=2/3。记到时刻 t 为止的累计收益为 S(t)=∑ᵢ₌₁^N(t) Xᵢ，则 S(t) 是复合泊松过程，E[S(2)]=____，Var(S(2))=____。
设保险公司的理赔总金额 S(t) 是复合泊松过程，其中理赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=3（件/小时）的泊松过程，各次理赔额 Y₁, Y₂, … 相互独立且与 N(·) 独立，均服从均值为 2（万元）的指数分布。则 Var(S(2)) = ____（万元²）。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=2 的泊松过程，则 N(1) 服从参数为 ____ 的泊松分布，P{N(1)=0}=____（保留四位小数）。
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y·t，其中 Y 服从标准正态分布 N(0,1)。对任意 0<t₁<t₂<t₃<t₄，记 A=X(t₂)−X(t₁)，B=X(t₄)−X(t₃)，则 Cov(A,B)=____；由此可知该过程的增量族相互独立（填“是”或“否”），且其增量分布仅依赖于时间区间的长度，故该过程____（填：“具有独立增量但不具有平稳增量”或“具有平稳增量但不具有独立增量”）。
设随机过程 X(t)=3+e^(-t)·Z，t≥0，其中随机变量 Z 满足 E[Z]=1，E[Z²]=4。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。
设 T = {1, 2, 3}，S = {0, 1}。若对每个 t∈T，X(t) 是定义在同一概率空间上的随机变量，则称随机变量族 {X(t), t∈T} 为一个随机过程，其中 T 称为____，S 称为该过程的状态空间。特别地，当 T 为可列集时，该随机过程称为____过程。若固定样本点 ω₀，则 X(t, ω₀) 关于 t 的函数称为该过程的一条____（轨道）。
设样本观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (0,1)、(1,4)、(2,2)、(3,5)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，其中带宽 h=1，核函数取二次核 K(t)=1−t²（|t|≤1），K(t)=0（|t|>1）。则 m̂(1.8) 的估计值为 ____（用最简分数表示）。
设回归模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,n），采用核权局部平均光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 进行估计，其中 h 为带宽。该光滑器体现了非参数回归的基本思想：不预设 m 的函数形式，仅用 x 邻近点的局部信息加权估计。若固定数据，当带宽 h→0 时，每个 x 邻域内仅剩自身观测点，m̂(xᵢ)→____；而当带宽 h→∞ 时，所有点权重趋于相同，m̂(x) 对任意 x 都收敛于同一个值，即该值等于____。
在局部加权回归中，核权函数取 w(u)=max(0, 1−(u/h)²)，带宽 h=2。为在拟合点 x₀=5 处进行加权拟合，若某设计点 x=8，则该点对应的权 w((x−x₀)/h)=____。