学科教学案例的综合分析 — 教师资格填空题

某教师在「定积分概念」教学案例中设计如下引入：用分点 0=x₀<x₁<…<xₙ=1 将区间 [0,1] n 等分，取每个小区间右端点函数值构造和式 Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ)·Δx 来近似曲边梯形面积。案例要求学生对该和式取极限求 f(x)=x² 下的精确面积。若教师板书写出极限表达式后，学生甲指出该和式可化为 (1/n³)·∑ᵢ₌₁ⁿ i²，结合公式 ∑ᵢ₌₁ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)/6 求极限。则学生甲所得的极限值为 ____。