大学多元统计分析上册《均值向量与协方差阵检验》练习题

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本单元考点（5 个）

单样本均值向量的Hotelling T²检验两样本均值向量的Hotelling T²检验均值向量的似然比检验协方差阵相等性的Box M检验多元方差分析（MANOVA）基本思想

题目预览（5/27 题）

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1. 某大学统计实验室对两组各11名学生的三项生理指标进行比较。设第一组样本协方差阵行列式 |S₁|=4，第二组 |S₂|=9，两组合并样本协方差阵的行列式 |S_p|=8。按 Box M 检验，取统计量 M=(N−k)·ln|S_p|−Σ(nᵢ−1)·ln|Sᵢ|，其中 N=22 为总样本量，k=2 为组数（自然对数）。计算得 M 的值最接近 5.75。在显著性水平 α=0.05 下，取 M·C 近似服从自由度为 3 的卡方分布（修正因子 C≈1），临界值 χ²₀.₀₅(3)=7.81。则关于两组协方差阵是否相等的检验结论是：A. 不拒绝原假设，可认为两组协方差阵相等　B. 拒绝原假设，认为两组协方差阵不相等　C. M 值应约为 11.5，故拒绝原假设　D. M 值应为负，检验无效，需重新计算

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2. 为考察两种训练方案对员工综合素质的影响，随机抽取两组员工各6名，分别观测其工作效能与协作能力两项指标（p=2）。经计算，两组合并的组内离差阵W的行列式 |W|=9，总离差阵T的行列式 |T|=25。请用Wilks统计量 Λ=|W|/|T| 检验两组均值向量是否存在显著差异：求Λ的值；将其转化为近似F统计量 F=[(1-Λ)/Λ]×[(n₁+n₂-p-1)/p]，其中n₁=n₂=6；并与临界值 F₀.₀₅(2,9)=4.26 比较后作出结论。

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3. 设二维正态总体 N(μ,Σ)，Σ 未知。从总体抽取容量 n=20 的样本，算得样本均值向量 x̄=(4,1)'，样本协方差阵 S=[[4,1],[1,4]]。欲检验 H0: μ=(3,1)'（显著性水平 α=0.05），采用 Hotelling T² 统计量 T² = n(x̄−μ0)'S⁻¹(x̄−μ0)，已知临界值为 F 分布量 2×19/18 × F₀.₀₅(2,18) ≈ 7.50。则检验统计量的值与结论为： A. T²=16/3 < 7.50，不拒绝 H0 B. T²=20/3 > 7.50，拒绝 H0 C. T²=80 > 7.50，拒绝 H0 D. T²=4 < 7.50，不拒绝 H0

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4. 为考察某化学处理是否改变溶液的两项特性指标 X₁, X₂，从处理前、处理后的溶液中各独立随机抽取 6 份样本（n₁=n₂=6）。由样本算得两总体协方差阵的合并估计 S = [[2,1],[1,2]]，两样本均值向量之差 d = x̄₁ − x̄₂ = (4, 2)′。在两总体均为二元正态且协方差阵相等的假定下，取显著性水平 α=0.05，试用两样本 Hotelling T² 检验判断处理前后两总体的均值向量是否存在显著差异。已知 F₀.₀₅(2,9) = 4.26。

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5. 为比较两种包装方式对产品两项性能指标 X₁、X₂ 的均值是否有差异，从两种包装方式中分别独立随机抽取 n₁=7 和 n₂=9 件产品，算得两样本均值向量之差 d = (2, 1)′，两总体协方差阵的合并估计为 S = [[4, 1], [1, 3]]，其逆矩阵 S⁻¹ = (1/11)[[3, -1], [-1, 4]]。取显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(2, 12) = 3.89。请计算两样本 Hotelling T² 统计量的值，并判断能否拒绝两总体均值向量相等的原假设。

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