大学多元统计分析上册《多元正态分布》练习题

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本单元考点（5 个）

多元正态分布的定义与密度函数均值向量与协方差阵的极大似然估计多元正态分布的边际分布与条件分布多元正态分布的线性变换性质Wishart分布与二次型分布

题目预览（5/18 题）

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1. 设三维随机向量 (X₁, X₂, X₃) 服从三元正态分布，均值向量 μ=(0, 1, 0)，协方差矩阵 Σ=[[4,2,0],[2,3,1],[0,1,2]]。已知多元正态分布的任意条件分布仍为正态分布。则在给定 X₂=2 的条件下，X₁ 的条件分布为 N(____, ____)（第一空填条件均值，第二空填条件方差）。

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2. 设 X = (x₁, x₂)ᵀ 服从二元正态分布 N₂(0, I₂)，其中 I₂ 为二阶单位矩阵。考察二次型 Q = 2x₁² − 4x₁x₂ + 2x₂²，则 Q 服从的分布是（　） A. χ²(2)　B. 4χ²(1)　C. χ²(1)　D. 2χ²(2)

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3. 设 X 服从二维正态分布 N(μ, Σ)，其中 μ=(1, 2)ᵀ，Σ 为协方差矩阵。令 Y = AX + b，其中 A 为 2×2 常数矩阵，b 为二维常数向量。由多元正态分布的线性变换性质，Y 服从的分布是（　　） A. 二维正态分布 N(Aμ + b, AΣAᵀ) B. 二维正态分布 N(μ + b, Σ) C. 二维正态分布 N(Aμ, AΣ) D. 一维正态分布 N(Aμ + b, AΣAᵀ)

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4. 设 X₁,…,X₁₀ 是来自三元正态总体 N₃(0, Σ) 的独立随机样本，其中 Σ = 2I₃（I₃ 为三阶单位矩阵），记 W = ∑(i=1 to 10) XᵢXᵢᵀ。由 Wishart 分布的定义，W ~ W₃(Σ, 10)，且 E(W) = nΣ。则 E(W) 的迹 tr(E(W)) 等于多少？ A. 20　B. 30　C. 40　D. 60

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5. 设二维随机向量 (X₁, X₂) 服从二元正态分布 N(μ₁, μ₂, σ₁², σ₂², ρ)，其中 σ₁²=4，σ₂²=9，相关系数 ρ=0。则 X₁ 的边际分布为 ____（写出分布名称及参数）；给定 X₂=x₂ 时，X₁ 的条件分布为 ____（写出分布名称及参数）。

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