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已知球谐函数 Y_lm 是角动量算符的本征函数，且 L₊Y_lm = ħ√(l(l+1)−m(m+1)) Y_l,m+1。将升算符 L₊ 连续作用两次于 Y₁,₋₁，即 (L₊)²Y₁,₋₁ = c·ħ²Y₁,₁，则常数 c = ____。
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质量为 m 的粒子以能量 E=9V₀/8（V₀>0）从 x<0 区域入射到位于 x=0 处的势阶：x<0 时势能为 0，x>0 时势能为 V₀。记 k₁=√(2mE)/ħ，k₂=√(2m(E−V₀))/ħ，则透射系数 T=4k₁k₂/(k₁+k₂)²。本题中 k₂/k₁=____，透射系数 T=____，反射系数 R=____。
质量为 m、能量 E=2V₀（V₀>0）的粒子从 x<0 区域入射到方势垒：0<x<a 处势能为 V₀，其余区域势能为 0。已知 k₂a=π/2（k₂=√(2m(E−V₀))/ħ），则该粒子对此势垒的透射系数 T=____，反射系数 R=____。
在正常塞曼效应中，某原子谱线在垂直于磁场方向观察时分裂为三个等间距分量；若改为沿磁场方向观察，则只能看到____。
三个自旋被忽略的全同玻色子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa(r)、φb(r)、φc(r)。体系的对称空间波函数写为 Ψ_B(r₁,r₂,r₃)=C·∑P φa(r_{P(1)})φb(r_{P(2)})φc(r_{P(3)})，其中求和遍历3!种排列，C为归一化常数。由于各轨道相互正交，6项彼此正交，每一项模方积分为1，故由归一化条件 |C|²×6=1 得 |C|=____；交换任意两个粒子坐标时，Ψ_B____（填"不变"或"变号"）。
已知泡利矩阵 σx、σy、σz 满足 σi²=I 且 σxσy+σyσx=0（I 为二阶单位矩阵）。设 A = σx + 2σy，则 A² = ____（用 I 表示）。
氢原子 2p 态（n=2, l=1）的径向波函数满足径向方程，其解形如 R₂₁(r)=Ar·e^(−r/(2a₀))（a₀ 为玻尔半径）。由径向方程求解该态时，归一化常数由 ∫₀^∞ |R₂₁|² r² dr=1 确定。据此，氢原子 2p 态电子出现在距核 r 处厚度 dr 球壳内的径向概率分布 P(r)=r²|R₂₁(r)|² 的极大值位置 r=____（用 a₀ 表示）。
一维无限深势阱中粒子，阱宽 a=1，势阱位于 0<x<1 区域，基态波函数 ψ₁(x)=√2·sin(πx)。现施加微扰 H′=V₀（V₀=10，能量单位），其作用范围仅为左半阱 0<x<1/2，右半阱内微势为零。用非简并定态微扰论计算基态能量的一阶修正，则 E₁^(1)=____。
三个自旋被忽略的全同费米子分别占据相互正交且各自归一的单粒子轨道 φa(r)、φb(r)、φc(r)。体系的空间波函数取反对称形式：Ψ_A(r1,r2,r3) = c·∑_P (−1)^P φ_P(1)(r1)φ_P(2)(r2)φ_P(3)(r3)，其中求和遍及粒子标号 (1,2,3) 的全部 3! = 6 种置换 P，(−1)^P 为置换的奇偶符号。请填写：(1) 归一化常数 c = ____；(2) 将粒子 1 与粒子 2 交换后，新波函数等于 ____ × Ψ_A（填入交换系数，只能是 1 或 −1）。
两个自旋1/2的全同费米子分别占据彼此正交的单粒子态 φ₁ 和 φ₂。体系的反对称化波函数可写为 Ψ_A = C[φ₁(1)φ₂(2) − φ₂(1)φ₁(2)]。若 Ψ_A 已归一化，则系数 C = ____；若将这两个粒子换成自旋为0的全同玻色子，对称化波函数中对应项前的符号应改为 ____（填“+”或“−”）。
正电子偶素由一个电子与一个正电子通过库仑相互作用组成的束缚体系。已知氢原子基态能量为 -13.6 eV，电子与正电子质量相同。将该体系按两体问题处理，体系的约化质量 μ = m₁m₂/(m₁+m₂)，则正电子偶素的基态能量为____ eV。
设希尔伯特空间中 {|1⟩, |2⟩} 为一组正交归一基，态矢 |ψ⟩ = (3/5)|1⟩ + (4/5)|2⟩。利用基矢的正交归一性 ⟨i|j⟩ = δᵢⱼ，则标积 ⟨1|ψ⟩ = ____，态矢的模方 ⟨ψ|ψ⟩ = ____。
某微观粒子处于一维状态 Ψ(x)=A·e^(−3x)（x≥0；x<0 时 Ψ=0），其中 A>0。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____；归一化后，粒子坐标出现在区间 [0, 1/3] 内的概率为____。
设粒子处于一维状态 Ψ(x)=A·e^(−x)（x≥0；x<0 时 Ψ=0），A>0。若将 Ψ(x) 归一化，则常数 A=____；归一化后，粒子坐标出现在区间 0≤x<(ln2)/2 内的概率为 ____。
惯性系 S′ 中某点电磁场为 E′=(3×10^6, 0, 0) V/m，B′=(0, 0, 0.01) T。利用电磁场的两个洛伦兹不变量判断：E′·B′ = ____，E′² − c²B′² = ____（c=3×10^8 m/s）。由此可知该场在任意惯性系中均为纯辐射场（平面电磁波场）。
磁导率分别为 μ₁=2μ₀ 与 μ₂=3μ₀ 的两种均匀磁介质被一无限大平面界面分开，界面上无自由传导电流。设界面法向单位矢量 n̂ 沿 x 轴正向，从介质1指向介质2。已知介质1中紧邻界面处的磁场强度为 H₁=(3x̂+4ŷ) A/m，其中 x̂ 为法向、ŷ 为切向。由边值关系可得介质2中紧邻界面处的磁场强度 H₂=(____x̂+4ŷ) A/m；介质1中的磁化强度大小 |M₁|=____ A/m。
一段半径为 R 的圆弧形细导线对圆心 O 张的圆心角为 2π/3，弧中通有电流 I。根据毕奥-萨伐尔定律，弧上任一电流元 Idl 到 O 的距离均为 R 且 Idl 与其位矢垂直，则圆心 O 处磁感应强度的大小为 ____。
一根长 8 cm 的细直导线沿 x 轴放置，通有恒定电流 I=10 A。点 P 位于该线段的中垂线上，到导线的垂直距离 d=3 cm。由毕奥-萨伐尔定律可求有限长直导线在其垂直平分面上一点产生的磁感应强度大小。取 μ0=4π×10⁻⁷ T·m/A，则 P 点磁感应强度的大小为 ____ T（用分数与 10 的幂表示，如 a/b×10⁻⁷ T）。
某均匀导电材料中通有稳恒电流，材料电阻率为 2.5×10⁻⁴ Ω·cm，其中某点处电流密度大小 J = 8×10⁵ A/m²。由焦耳定律的微分形式，该点处电流的热功率密度为 ____ W/m³，即 ____ W/cm³。
一半径 R₁=1.0 cm 的导体球带自由电荷 Q=9×10⁻⁹ C，球外紧贴一层内半径 R₁、外半径 R₂=3.0 cm 的均匀线性各向同性电介质球壳，相对介电常数 εr=3，球壳外为真空。静电平衡后，介质球壳内表面的极化电荷总量为____，外表面的极化电荷总量为____（均需填正负号与数值）。