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设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/3, 0, 2/3]]，则该链的平稳分布中 π₃ 等于 A. 3/13 B. 4/13 C. 6/13 D. 2/13
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设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,0)=1/2, P(0,1)=1/2, P(1,0)=1, P(2,1)=1，其余为 0。则状态 0 的周期 d 为（ ）。 A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=∞
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)、(5,10)。在 x₀=3 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取三角核 K(t)=(1−|t|)·1{|t|≤1}，带宽 h=2，即各点的权为 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)，通过最小化加权平方和 ∑ᵢ wᵢ(yᵢ−β₀−β₁(xᵢ−x₀))² 求得估计。则拟合值 ŷ(3)=β̂₀ 为：A. 4.75 B. 4.50 C. 5.00 D. 5.25
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，其间隔时间 X₁, X₂, … 独立同分布且均非负，第 n 个更新时刻为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。则对任意 t≥0，计数函数 N(t) 的正确刻画是： A. N(t) 表示时刻 t 恰好发生一次更新 B. N(t) 是满足 Sₙ≤t 的最大 n，即 N(t) = max{n≥0 : Sₙ≤t} C. N(t) 表示时刻 t 之后的更新次数 D. N(t) 关于 t 单调递减且取值连续
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=3 的泊松过程，则对任意 s<t，增量 N(t)-N(s) 的分布为（ ） A. 参数为 λt 的泊松分布 B. 参数为 λ(t-s) 的泊松分布 C. 参数为 λs 的泊松分布 D. 参数为 t-s 的二项分布
设随机过程 X(t)=A·cos t + B·sin t（t≥0），其中 A 与 B 相互独立，E[A]=E[B]=0，D[A]=1，D[B]=4。记自相关函数 R(t,s)=E[X(t)X(s)]，则 R(π/3, π/6)=____。 A. √3/4 B. 5√3/4 C. 3√3/4 D. √3
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y·t²，其中 Y 为非退化随机变量。对任意 0≤s<t，考虑以下两个命题：甲：该过程具有独立增量性；乙：该过程具有平稳增量性。则正确的判断是 A. 甲、乙都成立 B. 甲成立，乙不成立 C. 甲不成立，乙成立 D. 甲、乙都不成立
设随机过程 X(t) = Z·e^(3t) + t²，t≥0，其中随机变量 Z 满足 E[Z]=2，E[Z²]=9。则该过程的均值函数 m_X(t) 与自相关函数 R_X(t,s) 分别为（ ） A. m_X(t)=2e^(3t)+t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+2t²e^(3s)+2s²e^(3t)+t²s² B. m_X(t)=2e^(3t)+t²，R_X(t,s)=4e^(3(t+s))+t²s² C. m_X(t)=9e^(3t)+t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+t²s² D. m_X(t)=2e^(3t)+2t²，R_X(t,s)=9e^(3(t+s))+2(t²+s²)
在局部加权回归中，带宽 h 是控制平滑程度的关键参数。下列关于带宽选择的说法正确的是： A. h 越小，拟合曲线越平滑，偏差越大 B. h 越大，局部邻域内参与拟合的点越多，曲线越平滑，但可能造成欠拟合 C. h 越大，拟合曲线越能刻画数据的局部细节，方差越大 D. 带宽的选择对拟合结果没有影响，只需保证核函数非负
设 x₁,…,x₁₂₀ 为来自某连续总体的 120 个观测值，取值范围均在 [0,24) 内。将 [0,24) 等分为 6 个宽度 h=4 的组格作直方图密度估计，已知落在各区间 [0,4)、[4,8)、[8,12)、[12,16)、[16,20)、[20,24) 内的观测个数依次为 15、30、36、18、12、9。若某组格内估计密度值为 0.075，则该组格内共有多少个观测值？（提示：组格 [a,b) 上的直方图密度估计为 该组格内观测个数/(n·h)，n 为样本总量，h 为组格宽度） A. 30 B. 36 C. 32 D. 27
在核密度估计 f̂(x)=(1/(nh))∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 中，核函数 K 的基本作用是什么？ A. 确定估计量的样本容量大小 B. 决定每个样本点对估计值的贡献在邻域内如何分布 C. 替代样本数据以减少计算量 D. 保证估计量等于总体均值
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0，其协方差函数为 Cov(B(s),B(t))=min(s,t)。对于 0<s<t，下列关于增量 B(t)−B(s) 的结论正确的是：A. 期望为 t−s，方差为 t−s B. 期望为 0，方差为 t−s C. 期望为 0，方差为 t D. 期望为 0，方差为 s
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。将区间 [0,2] 进行 n 等分，分点为 t_k=2k/n（k=0,1,…,n），记二次变差近似和 S_n=∑ₖ₌₁ⁿ [B(t_k)−B(t_(k−1))]²。依概率取极限，lim(n→∞) S_n = ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
设 {B(t), t≥0} 是标准布朗运动，下列关于其性质的陈述中正确的是（ ） A. B(0)=1，且 B(t)～N(0,t) B. 对任意 0≤s<t，增量 B(t)−B(s)～N(0,t−s)，且不重叠区间的增量相互独立 C. 样本路径处处可导 D. 对任意 t>0，B(t)～N(1,t)
设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=P(ξᵢ=−1)=1/2，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)。已知 Xₙ=Sₙ²+3Sₙ+n 关于滤流 {Fₙ} 是下鞅。按杜布分解定理将 Xₙ 写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中 Mₙ 是鞅、Aₙ 是零初值可料递增序列，则 A₃ 等于（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
设 {Mₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的鞅，T 是关于 {Fₙ} 的停时。下列关于停时与可选停时定理的叙述正确的是：A. 对任意停时 T，必有 E[M_T]=E[M₀] B. 若 T 是有界停时（T≤N 某常数 N），则 E[M_{T∧N}]=E[M₀] C. 停时 T 的取值必须是确定性的常数 D. 鞅在任何停时处停止后期望一定增大
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {0,1,2}，其 Q 矩阵为 Q = [ -3, 2, 1; 4, -6, 2; 5, 0, -5 ]，转移率 q_ij = q(i,j)。记 p_ij(t) 为转移概率函数，则由转移概率与 Q 矩阵的关系，p_01'(0) 及 q_12 的值分别为（ ） A. p_01'(0) = 2，q_12 = 2 B. p_01'(0) = -3，q_12 = 6 C. p_01'(0) = 1，q_12 = -2 D. p_01'(0) = 5，q_12 = 0
设连续时间马尔可夫链 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移速率矩阵 Q = [ -3 3 ; 1 -1 ]（其中 q₀₀=-3，q₀₁=3，q₁₀=1，q₁₁=-1），且初始状态 X(0)=1。由柯尔莫哥洛夫向前方程组解得转移概率 p₁₁(t) 等于（ ）。 A. 1/4 + 3/4·e^(-4t) B. 3/4 + 1/4·e^(-4t) C. 1/4 + 3/4·e^(4t) D. 3/4 - 1/4·e^(-4t)
设连续时间马尔可夫链的转移率矩阵（Q矩阵）为 q₁₁=-2, q₁₂=2, q₁₃=0；q₂₁=1, q₂₂=-3, q₂₃=2；q₃₁=q₃₂=0, q₃₃=0。 其嵌入链（跳跃链）由 pᵢⱼ=qᵢⱼ/(-qᵢᵢ)（i≠j）确定。下列关于嵌入链状态分类的结论正确的是： A. 状态1与状态2均为常返态，状态3为非常返态 B. 状态3为吸收态，状态1与状态2均为非常返态 C. 三个状态均为常返态 D. 状态1为吸收态，状态2与状态3为非常返态
设 {N(t), t≥0} 为一更新过程，其间隔时间序列 X₁, X₂, … 独立同分布，第 n 个更新时刻记为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。下列关于计数过程 N(t) 与更新时刻关系的表述中，正确的是哪一项？ A. N(t) = n 当且仅当 Sₙ ≤ t < Sₙ₊₁（n = 1, 2, …） B. N(t) = n 当且仅当 Sₙ₋₁ < t ≤ Sₙ（n = 1, 2, …） C. 对任意 t，N(t) 关于 t 严格递增 D. N(t) < n 当且仅当 Sₙ ≤ t