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在聚类分析中，除距离外也常用夹角余弦作为样品间的相似系数。设两个样品 x₁=(1,0,2) 与 x₂=(2,2,1)，其夹角余弦定义为 cosθ = (x₁·x₂)/(‖x₁‖·‖x₂‖)。则 cosθ 的值为（ ） A. 4/(3√5) B. 4/9 C. 2/3 D. √5/3
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某银行用两个总体 π₁（正常客户，n₁=15）与 π₂（违约客户，n₂=15）的样本建立距离判别规则。回代检验中，π₁ 有 2 个样品被误判入 π₂，π₂ 有 4 个样品被误判入 π₁。则回代误判率的估计为 ____；若将所有 30 个样品全部判入 π₂ 这一规则，其误判率为 ____。
设两个二维总体 G₁ 与 G₂ 的均值向量分别为 μ₁=(0,0)ᵀ、μ₂=(4,6)ᵀ，两总体协方差矩阵相同且为对角阵 Σ=diag(1,4)。现有新样品 x₀=(3,2)ᵀ，按马氏距离判别法（采用平方马氏距离比较）判定，x₀ 应判入哪个总体？ A. 判入 G₁，因为到 μ₁ 的平方马氏距离为 10 B. 判入 G₂，因为到 μ₂ 的平方马氏距离为 5 C. 判入 G₁，因为欧氏距离更近 D. 判入 G₂，因为欧氏距离更远
在两总体贝叶斯判别中，下列关于先验概率与误判损失的表述正确的是： A. 先验概率表示各总体在抽样前所占的比重，误判损失表示错误判决所付出的代价 B. 先验概率必须在判别后由样本数据估计得到 C. 误判损失越大，越倾向于将该总体误判为另一总体 D. 若两总体的先验概率相等，则任何误判的损失必为零
设两个总体 G₁ 与 G₂ 的均值向量分别为 μ₁=(1,3)ᵀ、μ₂=(5,7)ᵀ，两总体协方差矩阵相同且为 Σ=[[1,0],[0,4]]。现有新样品 x₀=(3,4)ᵀ，试用马氏距离判别法判定 x₀ 所属的总体：分别计算 x₀ 到两总体的马氏距离平方 d²(x₀,G₁) 与 d²(x₀,G₂)，并给出判别结论。
对一维样本 {1, 4, 5, 9, 12, 15} 执行 K-means 聚类（K=2），距离采用绝对距离 |x−y|，初始中心取 m₁=5、m₂=12。反复执行「按最近中心分配样本、再用类内样本均值更新中心」直至中心不再变化，则最终的聚类中心为（ ）。 A. m₁=10/3，m₂=12 B. m₁=3，m₂=12 C. m₁=5，m₂=12 D. m₁=10/3，m₂=11
在协方差阵相等性的Box M检验中，统计量M的构造依赖于各总体的样本协方差阵行列式与____样本协方差阵的行列式。当M统计量的值偏大时，表明各总体协方差阵相等的原假设____（填“成立”或“不成立”）。
设从两个 p=2 维正态总体 N₂(μ₁,Σ₁) 与 N₂(μ₂,Σ₂) 中分别独立抽取容量 n₁=n₂=6 的样本。经计算得两样本协方差阵分别为 S₁=diag(4,4)，S₂=diag(9,9)，于是合并样本协方差阵为 S_p=((S₁+S₂)/2)=diag(6.5,6.5)。取显著水平 α=0.05，已知 χ²₀.₀₅(3)=7.815。请用 Box M 检验（含小样本修正因子）检验 H₀: Σ₁=Σ₂：(1) 计算 Box 统计量 M=(N−k)ln|S_p|−Σᵢ(nᵢ−1)ln|Sᵢ|（N=n₁+n₂, k=2）；(2) 计算修正统计量 M*=C·M，其中 C=1−(2p²+3p−1)/(6(p+1)(k−1))；(3) 给出检验结论。
在聚类分析中，设两个样品点 x₁=(1,2,2) 与 x₂=(2,4,4)。(1) 计算闵可夫斯基（Minkowski）距离 d₃(x₁,x₂)=(∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ|³)^(1/3)（精确值即可，可保留立方根形式）；(2) 计算两点的夹角余弦相似系数 cos θ = (x₁·x₂)/(‖x₁‖·‖x₂‖)，并说明由此判断两点相对于坐标原点的位置关系（夹角是多少度）。
设两个样品点 x₁=(0,1,4) 与 x₂=(2,3,5)，若采用绝对值（曼哈顿）距离 d(x₁,x₂)=∑|x₁ⱼ−x₂ⱼ| 作为聚类中样品间的距离度量，则 d(x₁,x₂)=（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 4
对四个样品 A、B、C、D 作系统聚类（最短距离法），样品间欧氏距离为：d(A,B)=2.0，d(C,D)=2.5，d(A,C)=4.0，d(A,D)=4.5，d(B,C)=4.2，d(B,D)=4.8。请按最短距离法依次合并类，写出每一步合并的类与对应的类间距离，并画出谱系图（用文字描述合并层次），最后说明：若在距离水平 3.0 处截断，样品被分为几类？各是哪些样品？
对一维样本 {0, 3, 5, 12, 14} 执行 K-means 聚类（K=2），距离采用绝对距离 |x−y|，初始中心取 m₁=2、m₂=13。第一轮按最近中心原则分配：距 m₁ 更近的样本归入第1类，距 m₂ 更近的样本归入第2类，则第1类为 ____，第2类为 ____（样本从小到大排列，用逗号分隔）。随后更新中心为各类均值，则新中心 m₁'=____，m₂'=____。
设从两个多元正态总体 N₂(μ₁, Σ₁) 与 N₂(μ₂, Σ₂) 中分别独立抽取容量为 n₁ 与 n₂ 的样本，欲检验 H₀: μ₁ = μ₂，采用两样本 Hotelling T² 检验。该检验方法成立所要求的前提条件是下列哪一项？ A. 两总体的协方差阵相等且未知，即 Σ₁ = Σ₂ B. 两总体均值相等且已知 C. 两总体的协方差阵必须为对角阵 D. 两总体必须具有相同的样本容量且 Σ₁ = -Σ₂
在两个二维（p=2）正态总体协方差阵相等性的 Box M 检验中，分别抽取容量 n₁=n₂=11 的独立样本，样本协方差阵的行列式为 |S₁|=9、|S₂|=36，合并样本协方差阵的行列式 |S_p|=24。按公式 M=(N−k)ln|S_p|−Σ(nᵢ−1)ln|Sᵢ|（其中 N=n₁+n₂，组数 k=2）计算，检验统计量 M 的值为 A. 20ln(4/3)≈5.75 B. 20ln(3/2)≈8.11 C. 10ln(8/3)≈9.81 D. 20ln2≈13.86
设随机向量 (X₁, X₂, X₃) 服从三元正态分布 N₃(μ, Σ)，其中 μ=(1, 2, 3)，Σ=[[5,2,1],[2,4,-1],[1,-1,3]]。则 X₁ 的边际分布为 N(____, ____)；在给定 X₂=2, X₃=3 的条件下，E[X₁|X₂=2, X₃=3]=____，Var(X₁|X₂=2, X₃=3)=____（分数请化为最简形式）。
设三维随机向量 X=(X₁,X₂,X₃)ᵀ 服从三元正态分布 N₃(μ,Σ)，其中 μ=(0,0,0)ᵀ，Σ=diag(1,4,9)。由多元正态分布密度函数的定义，其密度在原点 (0,0,0) 处的取值 f(0,0,0)=____（化至最简）。
设随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 服从二元正态分布 N₂(μ,Σ)，其中 μ=(0,0)ᵀ，Σ=diag(2,8)。则该分布的密度函数 f(x₁,x₂) 为（ ） A. (1/(8π))·exp{−(1/2)[x₁²/2 + x₂²/8]} B. (1/(16π))·exp{−(1/2)[x₁²/2 + x₂²/8]} C. (1/(8π))·exp{−(1/2)[x₁²/8 + x₂²/2]} D. (1/(4π))·exp{−(x₁² + x₂²)/2}
在线性回归模型 y=Xβ+ε 中，自变量间存在多重共线性。已知 XᵀX = [[4,2],[2,4]]，Xᵀy = (6,8)ᵀ。采用岭回归，取惩罚参数 λ=2，岭估计公式为 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。(1) 求岭估计 β̂(2)；(2) 求最小二乘估计 β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy 作为对比；(3) 分别计算两个估计的系数平方和 ‖β‖²=β₁²+β₂²，验证岭估计体现“压缩系数、降低方差”的基本思想。
某城市水务部门研究居民用水量 y（吨/月）与气温 x₁、家庭人口 x₂、住房面积 x₃ 的关系，建立三元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε。基于 n=18 组观测数据，经最小二乘估计得总平方和 SST=350，残差平方和 SSE=140。又得偏回归系数的估计值与其标准误如下：b₁=2.5，SE(b₁)=1.25；b₂=1.8，SE(b₂)=0.6。取显著性水平 α=0.05，已知临界值 F₀.₀₅(3,14)=3.34，t₀.₀₂₅(14)=2.145。求：(1) 回归方程整体显著性检验的 F 统计量值，并判断回归方程是否整体显著；(2) 分别计算检验 β₁ 与 β₂ 的 t 统计量值，并逐个判断这两个偏回归系数是否显著。
在多维标度法中，设两样本的相似系数 s_ij = 0.68，采用经典转化公式将相似系数转化为欧氏距离：d_ij = √(2(1−s_ij))。则对应的距离 d_ij 为多少？ A. 0.32 B. 0.64 C. 0.8 D. 0.68