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设总体 X 的方差 σ² 未知但存在，X₁,…,Xₙ 为来自该总体的简单随机样本，X̄ₙ 为样本均值。考虑估计量 Tₙ = (1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ−c)²，其中 c 为常数。已知 Tₙ 为 σ² 的相合估计量当且仅当 (c−μ)² = k·σ²，其中 μ=E(X)。则 k = ____；此时 Tₙ 的数学期望 E(Tₙ) = ____（用 σ² 与 μ、c 中适当的量表示）。
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设两台仪器测量的长度值分别服从正态总体 N(μ₁,σ₁²) 与 N(μ₂,σ₂²)，两总体相互独立，方差已知且 σ₁²=9，σ₂²=4。从两总体分别抽取容量 n₁=12、n₂=8 的样本，算得样本均值 x̄₁=50.6，x̄₂=49.4。检验 H₀: μ₁=μ₂ 对 H₁: μ₁≠μ₂，应采用的检验统计量为（显著性水平 α=0.05）。 A. Z=(x̄₁-x̄₂)/√(σ₁²/n₁+σ₂²/n₂) B. T=(x̄₁-x̄₂)/(S_w√(1/n₁+1/n₂))，其中 S_w²=((n₁-1)S₁²+(n₂-1)S₂²)/(n₁+n₂-2) C. F=S₁²/S₂² D. Z=(x̄₁-x̄₂)/√((σ₁²+σ₂²)/(n₁+n₂))
在假设检验中，显著性水平 α 表示当原假设 H₀ 实际成立时，检验结果却拒绝了 H₀ 的概率，这类错误称为第____类错误；而当 H₀ 实际不成立却未拒绝 H₀ 时，所犯的错误称为第____类错误，犯该类错误的概率通常记为____。
设随机变量 X 满足 E(X)=9，D(X)=2。由切比雪夫不等式可估计概率 P(4<X<14) ≥ ____。
设随机变量 X 满足 E(X)=6，D(X)=2。若由切比雪夫不等式可得 P(|X−6|<ε) ≥ 0.96，则由此估计出的正数 ε = ____。
在含 20 个观测的回归问题中，对两个候选模型分别计算 AIC 与 BIC（准则形式：AIC = n·ln(RSS/n) + 2p，BIC = n·ln(RSS/n) + p·ln n，其中 p 为模型参数个数）。已知模型 A 的残差平方和 RSS_A = 60，参数个数 p_A = 2；模型 B 的 RSS_B = 58，参数个数 p_B = 3。取 ln 3 ≈ 1.10，ln 2.9 ≈ 1.06，ln 20 ≈ 3.00，结果保留一位小数。（1）计算两模型的 AIC 与 BIC；（2）分别依据 AIC 与 BIC 判断应选择哪个模型。
下列关于岭回归基本思想的表述中，正确的是： A. 岭回归通过在残差平方和上加入系数的L1惩罚项，将部分系数精确压缩为零，从而实现变量选择 B. 岭回归以牺牲无偏性为代价，对回归系数施加L2惩罚，降低估计方差，从而在多重共线性下获得更稳定的均方误差 C. 岭回归的岭参数k取任意正数时，岭估计的均方误差一定小于普通最小二乘估计的均方误差 D. 岭回归通过剔除存在共线性的自变量后再作普通最小二乘回归，从而消除估计的不稳定性
设自变量经标准化且设计矩阵满足各列正交（正交规范设计），Lasso 的解由软阈值算子给出：β̂_j = sign(β̂_j^(OLS))·max(|β̂_j^(OLS)|−λ, 0)。已知 OLS 回归系数 β̂₁^(OLS)=5.2，β̂₂^(OLS)=0.6，β̂₃^(OLS)=−3.1，取惩罚参数 λ=1，则 Lasso 估计下被压缩为 0 的变量个数是 ____，其中 x₃ 的 Lasso 系数估计值为 ____。
岭回归处理多重共线性的基本思想是：在最小二乘法的残差平方和基础上增加一个关于回归系数的惩罚项，即以牺牲估计的____性为代价，换取估计方差的显著降低，从而使均方误差变小；该惩罚项对系数起____（填“收缩”或“放大”）作用，且岭参数 k 越大，系数被压缩得越厉害。
在Lasso回归中，估计通过最小化残差平方和加上惩罚项 λ∑|βⱼ| 得到（λ>0）。当惩罚足够大时，Lasso会将某些回归系数精确压缩为____，从而实现变量选择；而岭回归由于使用系数平方惩罚，通常只能将系数收缩为接近但____零的值。因此，与岭回归相比，Lasso的主要优势在于能产生____（填「稀疏」或「稠密」）的模型。
关于 Lasso（最小绝对收缩与选择算子）方法的原理，下列说法正确的是： A. Lasso 在最小二乘损失基础上添加回归系数的 L1 范数惩罚项，可将部分系数精确压缩为零，从而实现变量选择 B. Lasso 的惩罚项为系数平方和，只能使系数整体缩小但不能压缩为零 C. Lasso 通过删除随机一个自变量来达到变量选择的目的 D. Lasso 的解总是唯一存在的，且与岭回归的解完全相同
关于岭回归的基本思想，下列说法正确的是：A. 岭回归通过在残差平方和上增加回归系数平方的惩罚项，以牺牲部分无偏性为代价换取估计方差的大幅降低，从而解决多重共线性下最小二乘估计不稳定的问题 B. 岭回归的目标是使残差平方和达到全局最小，与最小二乘法的思想完全相同 C. 岭回归通过增大样本容量来降低估计的方差，从而改善多重共线性问题 D. 岭回归要求先剔除所有引起多重共线性的变量，再进行系数估计
某研究对 n=30 个样本建立回归模型，因变量为 y，候选自变量为 x₁ 与 x₂。已知样本相关系数：r(y,x₁)=0.9，r(y,x₂)=0.5，r(x₁,x₂)=0.3。采用逐步回归法（引入变量用偏 F 检验，取 F_in=4；若变量已引入则后续用偏 F 检验决定是否剔除，取 F_out=4）。第一步选入偏 F 值最大的变量后，再对另一变量作引入检验，最后对已入选变量作剔除检验。问最终模型包含哪些变量？（提示：偏 F = t² = r²·(n−2)/(1−r²)，其中 r 为偏相关系数；偏相关系数 r(y,xᵢ|xⱼ)=(r(y,xᵢ)−r(y,xⱼ)r(xᵢ,xⱼ))/√((1−r(y,xⱼ)²)(1−r(xᵢ,xⱼ)²))） A. 仅 x₁ B. x₁ 和 x₂ C. 仅 x₂ D. x₁ 和 x₂ 均被剔除
在回归模型中，若解释变量 x₁ 关于其余解释变量的辅助回归判定系数为 R²=0.9，则 x₁ 的方差膨胀因子 VIF = ____；通常当 VIF 超过 ____ 时，认为存在严重的多重共线性。
在回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε 中，若辅助回归 x₁ = α₀ + α₂x₂ + u 的判定系数 R² = 0.75，则变量 x₁ 的方差膨胀因子 VIF₁ 等于多少？ A. 0.25 B. 1.33 C. 4 D. 7.5
在回归诊断中，通常以学生化残差 r_i = e_i / s(e_i) 作为异常值的判定统计量，常用准则为：当 |r_i| > 3 时判定该观测为异常值。已知某回归模型中第 7 个观测的残差 e₇ = 1.26，其标准差 s(e₇) = 0.42。请计算第 7 个观测的学生化残差 r₇，并依据上述准则判断该观测是否为异常值。
在线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε 中，基于 n=15 个观测拟合后，已知第 7 个观测点的残差 e₇=4，误差方差估计 s²=4，杠杆值 h₇₇=0.4，模型参数个数 p=2。由库克距离公式 D₇=(e₇²/(p·s²))×h₇₇/(1-h₇₇)² 计算，得 D₇=____（结果用分数表示）；按 Dᵢ>1 的判定准则，该点 ____（填「是」或「不是」）强影响点。
在某多元线性回归（自变量个数 p=3）的诊断中，已知第 7 个观测点的标准化残差平方 r₇²=6，杠杆值 h₇₇=1/2。利用公式 D_i = (r_i²/p)×(h_ii/(1-h_ii)) 计算其库克距离，则 D₇ = ____。由常用的经验判别准则（D_i > 1 判为强影响点），该观测点____（填“是”或“不是”）强影响点。
在含一个自变量的一元线性回归中（n=10，参数个数 p=2），第 i 个观测的外学生化残差绝对值为 3，该点的杠杆值 hᵢᵢ=0.5，且删除该点后误差方差的估计使 eᵢ²/(p·s⁽ⁱ²⁾)=0.5。按公式 Dᵢ = [eᵢ²/(p·s⁽ⁱ²⁾)] · hᵢᵢ/(1−hᵢᵢ)² 计算该点的库克距离 Dᵢ，其值为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4
在回归诊断中，若某观测的学生化残差的绝对值 |r_i| > 3，则按常用判定准则，该观测点应被视为____；诊断异常值时最常用的图形工具是以拟合值 ŷ 为横轴、以____为纵轴的残差图。