全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
设 f(t)=t²，定义 F(x)=∫₁^(x) f(t)dt，求 F′(2)。
登录后查看答案
已知定积分的柯西—施瓦茨不等式：对区间 [a,b] 上的连续函数 f(x)、g(x)，有 (∫ₐᵇ f(x)g(x)dx)² ≤ ∫ₐᵇ f²(x)dx · ∫ₐᵇ g²(x)dx。（1）在上式中取 f(x)=1，g(x)=x，a=0，b=1，写出所得的不等式；（2）分别计算不等式两端的积分值，验证该不等式成立。
已知二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂。（1）用正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形，写出该标准形及所用的正交变换矩阵 Q；（2）判断 f 是否正定，并说明理由。
设实对称矩阵 A = [[2, a], [a, 5]]（a 为实数），已知 6 是 A 的一个特征值，且 a > 0。（1）求 a 的值及 A 的全部特征值；（2）判断 A 是否可相似对角化并说明理由；（3）利用 A = QΛQ⁻¹ 计算 A⁵。
用配方法将二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+2x₃²+4x₁x₂ 化为标准形，并写出所用的可逆线性变换 x=Cy。
已知矩阵 A = [[1, 2], [2, 1]]。（1）求 A 的特征值与特征向量，并判断 A 是否可相似对角化，说明理由；（2）求可逆矩阵 P 与对角矩阵 Λ，使得 A = PΛP⁻¹；（3）计算 A⁵。
设线性方程组：x₁+x₂+x₃+x₄=1，x₁+2x₂+3x₃+4x₄=2，2x₁+3x₂+4x₃+5x₄=t。问：t 为何值时方程组有无穷多解？此时求出其通解。
已知二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂。（1）用正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形，并写出所用的正交变换矩阵 Q；（2）判定 f 是否正定，说明理由。
设 A 为 3×4 矩阵，非齐次线性方程组 Ax=b 有解，且已知 r(A)=3。求：(1) 对应的齐次方程组 Ax=0 的基础解系所含向量的个数；(2) 说明方程组 Ax=b 的解的情况（唯一解、无穷多解或无解）。
计算三阶行列式 D = |2 1 4; 3 5 −2; 1 −1 3|（第1行为2, 1, 4；第2行为3, 5, −2；第3行为1, −1, 3）。
设三阶行列式 D = |2 0 3; 1 4 −1; 5 2 x|（第1行为2, 0, 3；第2行为1, 4, −1；第3行为5, 2, x）。用对角线法则（或按第1行展开）将 D 表示为 x 的多项式，并求使得 D = −2 的 x 的值。
设 D 为三阶行列式，且 D = 40。先将 D 的第 1 行与第 3 行互换位置，得到行列式 D₁；再将 D₁ 的第 2 列所有元素提取公因子 4，得到新的三阶行列式 D'，求 D' 的值。
用克拉默法则求解线性方程组 x₁+x₂+x₃=6, 2x₁−x₂+3x₃=9, x₁+2x₂−x₃=2，则 x₂ 的值为多少？
设 D 为四阶行列式。已知 D 的第 3 行元素依次为 (2, -1, 3, 0)，且元素 a_31 的代数余子式 A_31 = 3，元素 a_32 的代数余子式 A_32 = -2，元素 a_33 的代数余子式 A_33 = 4。请按第 3 行展开，计算行列式 D 的值。
一个无盖的长方体铁皮水箱，长8分米、宽5分米、高0.6米。制作这个水箱至少需要铁皮多少平方分米？（注意：水箱上面没有盖，只需算5个面）
一根通风管长1.2米，横截面是边长0.2米的正方形。做这根通风管至少需要铁皮多少平方米？（提示：通风管两头相通，只需算侧面4个面）
脱式计算：11/12 - (3/4 - 1/6) + 1/3 =
妈妈买了4瓶蜂蜜，每瓶净重500克。这些蜂蜜净重一共多少克？合多少千克？____克，合____千克
一瓶果汁净含量500克，妈妈买了4瓶，共重多少克？合多少千克？
竖式计算：(720-96)÷6=