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设随机变量 X 与 Y 满足 Var(X)=9，Var(Y)=4，且 Cov(X,Y)=3。求 X 与 Y 的相关系数 ρ_XY，并根据 ρ_XY 的取值说明 X 与 Y 的线性相关性强弱。
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设离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4，其分布律为 P(X=k)=c·k/2^k，k=1,2,3,4，其中 c 为常数。试求常数 c 的值，并计算 P(X≥3)。
已知一组观测数据如下：x: 1, 2, 3, 4, 5；y: 3, 5, 6, 8, 10。设一元线性回归模型为 y = β₀ + β₁x + ε，请用最小二乘法求参数 β₀ 与 β₁ 的估计值（即求回归系数 b₁ = ∑(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/∑(xᵢ-x̄)² 和常数项 b₀ = ȳ - b₁x̄）。
设甲、乙两台机床加工的零件直径分别服从正态总体 N(μ₁, σ₁²) 与 N(μ₂, σ₂²)，两总体相互独立。现从两总体中各随机抽取容量为 8 的样本，算得样本方差分别为 s₁² = 0.36 与 s₂² = 0.09。在显著性水平 α = 0.05 下，检验两总体方差是否相同（H₀: σ₁² = σ₂²，H₁: σ₁² ≠ σ₂²）。已知 F₀.₀₂₅(7,7) = 4.99，检验统计量为 F = s₁²/s₂²，拒绝域为 F ≤ F₁₋α/₂(7,7) 或 F ≥ Fα/₂(7,7)，其中 F₁₋α/₂(7,7) = 1/F₀.₀₂₅(7,7)。请完成检验并写出结论。
设总体 X 的一个容量为 5 的简单随机样本的观测值依次为 4, 8, 6, x₁, x₂（x₁、x₂ 为待定常数）。已知该样本的样本均值 X̄ = 6，样本方差 S² = (1/(n-1))·∑(xᵢ-X̄)² = 10。求 x₁ 与 x₂ 的值（不计顺序），并求样本标准差 S。
设 X₁, X₂, …, X₁₆ 是来自总体 N(μ, 4) 的简单随机样本，X̄ 为样本均值，S² 为样本方差（即 S² = (1/15)∑(Xᵢ − X̄)²）。（1）写出 ∑(Xᵢ − X̄)²/4 所服从的分布；（2）确定常数 k，使得 k(X̄ − μ)/S 服从自由度为 15 的 t 分布，并说明理由。
设从某总体中抽取容量为 5 的样本，观测值依次为 2, 4, 6, 8, 10（单位：cm）。求该样本的样本均值 X̄ 与样本方差 S²（其中 S² = (1/(n-1))·∑(Xᵢ - X̄)²）。
某网站服务器每分钟收到的请求次数 X 满足 E(X)=50，D(X)=4。利用切比雪夫不等式估计：（1）概率 P(|X−50|≥6) 的上界；（2）概率 P(44<X<56) 的下界。
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=3x²，x∈(0,1)；其他处 f(x)=0。令 Y=X²。求二维随机变量 (X,Y) 的协方差矩阵（矩阵中元素以分数表示）。
设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 f(x,y)=x+y，x∈(0,1)，y∈(0,1)；其他处 f(x,y)=0。求 (X,Y) 的协方差矩阵。
设随机变量 X 的期望 E(X)=5，方差 D(X)=4，试用切比雪夫不等式估计概率 P(|X−5|<4) 的下界。
设连续型随机变量 X 在区间 (0,2) 上服从均匀分布，令 Y = 1 − X。求 Cov(X,Y) 与 X 和 Y 的相关系数 ρ_XY，并说明 X 与 Y 的线性相关关系。
设随机变量 X 服从区间 [0, 5] 上的均匀分布，随机变量 Y 服从参数为 λ=1/2 的指数分布，随机变量 Z 服从正态分布 N(3, 4)。依次求下列概率：(1) P(X>3)；(2) P(Y≤2)；(3) P(Z≤2)，其中 Φ(0.5)≈0.6915。
设二维连续随机变量 (X,Y) 的联合概率密度为 f(x,y)=2(x+y)（0<x<y<1，其他处 f(x,y)=0）。求在 Y=y（0<y<1）的条件下，X 的条件概率密度 f_{X|Y}(x|y)。
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=2x（0<x<1），其他处 f(x)=0。令 Y=e^X。求：(1) Y 的分布函数 F_Y(y)；(2) Y 的概率密度 f_Y(y)。
设离散型随机变量 X 的可能取值为 -1, 0, 1, 2，其分布律为 P(X=k)=c(k+3)，k=-1,0,1,2，其中 c 为常数。试求常数 c 的值，并写出 X 的完整分布律。
设 A、B 为同一试验中的两个事件，已知 P(A)=0.45，P(B)=0.35，且 A 与 B 互不相容（即 AB=∅）。由概率的公理化定义与性质，计算 P(A∪B) 与 P(A−B) 的值。
设总体 X ~ N(0, 4)，X₁, X₂, X₃, X₄ 为来自该总体的简单随机样本，S² 为样本方差。求统计量 T = 3S²/4 所服从的分布，并写出该分布的自由度。
设某工厂生产的同类零件共 400 件，每件是否为次品相互独立，且每件是次品的概率均为 0.5。以 X 表示这批零件中次品的件数。试用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似计算次品件数与平均次品数之差的绝对值小于 20 件的概率 P(|X−200|<20)。已知 Φ(2)=0.9772。
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)=2x，x∈(0,1)；其他处 f(x)=0。令 Y=X²。求二维随机变量 (X,Y) 的协方差矩阵（矩阵中元素以分数表示）。