全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。方法一为朴素蒙特卡洛估计量 f(U)，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=[f(U)+f(1−U)]/2。设单样本方差之比为 Var(T)/Var(f(U))，则方差缩减的比例（即减少的方差占原方差的分数）为： A. 1/16 B. 1/12 C. 15/16 D. 3/4
登录后查看答案
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx，独立抽取 n=400 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₄₀₀，计算得 g(xᵢ)=1/(1+xᵢ) 的样本均值 X̄=0.694，样本标准差 S=0.200。若以 X̄ 作为 I 的估计，则该估计的标准误为（ ） A. 0.200 B. 0.010 C. 0.005 D. 0.050
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ x² dx。设 X₁,…,Xₙ 为来自均匀分布 U(0,1) 的独立样本，取估计量 Îₙ=(1/n)∑Xᵢ²。当 n 增大时，关于 Îₙ 的说法正确的是：A. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/√n 的速度减小 B. Îₙ 依概率收敛于 I，且标准差按 1/n 的速度减小 C. Îₙ 不收敛，但方差随 n 线性减小到零 D. Îₙ 收敛于 I 的精确值，方差恒为零
设 ξ₁,ξ₂,… 独立同分布，P(ξᵢ=1)=2/3，P(ξᵢ=0)=1/3，令 Sₙ=ξ₁+…+ξₙ，Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，已知 {Sₙ, n≥0} 关于 {Fₙ} 是下鞅。由杜布分解定理，存在可料递增过程 {Aₙ}（A₀=0）使 {Sₙ−Aₙ} 关于 {Fₙ} 为鞅。则 Aₙ 应为（n≥1）： A. Aₙ=n/3 B. Aₙ=n/2 C. Aₙ=2n/3 D. Aₙ=n
设 {Mₙ} 为关于 {Fₙ} 的鞅，已知 supₙ E[|Mₙ|] < ∞，且 Mₙ 依概率收敛于某个随机变量 M∞。根据鞅收敛定理的正确表述，下列结论中必然成立的是： A. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，但 E[|M∞|] < ∞ 不一定成立 B. Mₙ 几乎必然收敛于 M∞，且 E[|M∞|] ≤ lim E[|Mₙ|] < ∞ C. Mₙ 必为非负鞅，故 M∞ ≥ 0 几乎必然成立 D. Mₙ 几乎必然收敛于 0，且 E[M∞] = 0
设 {Mₙ, n≥0} 为关于滤流 {Fₙ} 的鞅，且 E|Mₙ|<∞ 对每个 n 成立。下列哪个条件可直接由鞅的定义得到？A. E[Mₙ | Fₙ₋₁] = Mₙ₋₁ 对一切 n≥1 成立 B. E[Mₙ²] = E[M₀²] 对一切 n 成立 C. Mₙ 几乎必然收敛 D. E[Mₙ] = 0 对一切 n 成立当且仅当 M₀=0
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₁=-3, q₁₂=3；q₂₁=2, q₂₂=-2；q₃₁=1, q₃₂=5, q₃₃=-6。记其嵌入链（跳跃链）为 {Yₙ}。则在嵌入链中，从状态 3 出发下一步跳到状态 2 的概率为（ ）。 A. 1/6 B. 5/6 C. 5/8 D. 1/2
设连续时间马尔可夫链状态空间为 {1,2,3,4}，转移率矩阵 Q 满足：q₁₂=5, q₂₃=3, q₃₁=2，且对角元 qᵢᵢ<0（i=1,2,3），状态 4 为吸收状态（q₄ⱼ=0, j≠4）。写出该链的嵌入链（跳跃链）转移概率矩阵的行支撑，并判断嵌入链的状态分类：哪些状态互通？A. 嵌入链中 1、2、3 互通，4 为吸收态 B. 嵌入链中 1、2、3、4 全部互通 C. 嵌入链中 1 与 2 互通，3、4 各自孤立 D. 嵌入链中 1→2→3→1 构成闭集，4 可达 1
设观测数据 x₁,…,xₙ 来自一维高斯混合模型，含隐变量 zᵢ∈{1,2} 表示第 i 个观测所属的成分。在第 t 步 E 步已算得后验责任 γᵢ=P(zᵢ=1|xᵢ)。下列关于 Q 函数构造与 M 步的说法正确的是：A. Q(θ|θ^(t))=∑ᵢ[γᵢln(π₁φ(xᵢ;μ₁,σ₁²))+(1-γᵢ)ln(π₂φ(xᵢ;μ₂,σ₂²))]，M 步在固定 γᵢ 下最大化 Q 求新参数 B. M 步需对隐变量 zᵢ 重新随机抽样后再求参数 C. Q 函数只含观测数据的对数似然，与后验 γᵢ 无关 D. M 步直接最大化完整数据的对数似然，无需借助 Q 函数
设马尔可夫链状态空间为 {1,2}，转移矩阵 P = [[0.7, 0.3], [0.6, 0.4]]。已知分布 π = (a, 1−a)（a∈(0,1)）满足关于 P 的细致平衡条件 π₁P₁₂ = π₂P₂₁，则 a = ？ A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/5
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=2 的泊松过程，且 N(0)=0。利用独立增量与平稳增量性质，条件概率 P{N(3)=2 | N(1)=0} 等于（ ） A. 2e^(-4) B. 4e^(-6) C. 2e^(-6) D. 4e^(-4)
某共享单车维修点收到报修单的次数 N(t) 是强度 λ=4（单/小时）的泊松过程。设 X₁ 为从时刻 0 起到第 1 张报修单到达的时间间隔，则 X₁ 服从的分布及 E[X₁] 为（ ） A. 服从参数为 4 的指数分布，E[X₁] = 1/4 小时 B. 服从参数为 4 的泊松分布，E[X₁] = 4 小时 C. 服从参数为 1/4 的指数分布，E[X₁] = 4 小时 D. 服从参数为 4 的均匀分布，E[X₁] = 1/2 小时
设 Z 服从标准正态分布 N(0,1)，其概率密度为 φ(z)=（1/√(2π)）·e^(−z²/2)。采用重要性采样，改从 N(1,1)（密度记为 q(z)）中抽取样本。若某次抽样得到的样本值为 z=1.5，则该样本对应的重要性权重 w=φ(z)/q(z) 的值为（ ） A. e^(−1) ≈ 0.368 B. e^(−2) ≈ 0.135 C. e^(−0.5) ≈ 0.607 D. 1
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X=B(2)，Y=B(5)−B(1)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2, 0, 0], [1/2, 0, 1/2, 0], [0, 1/2, 0, 1/2], [0, 0, 1/2, 1/2]]。若 π = (π₁, π₂, π₃, π₄) 是该链的平稳分布，则 π₁ + π₂ 的值为（ ）。 A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 3/4
某网络服务器接收请求的次数 {N(t), t≥0} 为泊松过程，已知相邻两次请求的平均到达间隔为 1/4 小时。则 2 小时内恰好到达 2 个请求的概率为（ ） A. 32e^(-8) B. 16e^(-8) C. 32e^(-4) D. 64e^(-8)
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [0, 1/2, 1/2], [1/3, 0, 2/3]]，则该链的平稳分布中 π₃ 等于 A. 3/13 B. 4/13 C. 6/13 D. 2/13
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间 I={0,1,2}，一步转移概率为 P(0,0)=1/2, P(0,1)=1/2, P(1,0)=1, P(2,1)=1，其余为 0。则状态 0 的周期 d 为（ ）。 A. d=1 B. d=2 C. d=3 D. d=∞
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)、(5,10)。在 x₀=3 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取三角核 K(t)=(1−|t|)·1{|t|≤1}，带宽 h=2，即各点的权为 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)，通过最小化加权平方和 ∑ᵢ wᵢ(yᵢ−β₀−β₁(xᵢ−x₀))² 求得估计。则拟合值 ŷ(3)=β̂₀ 为：A. 4.75 B. 4.50 C. 5.00 D. 5.25
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，其间隔时间 X₁, X₂, … 独立同分布且均非负，第 n 个更新时刻为 Sₙ = X₁+…+Xₙ。则对任意 t≥0，计数函数 N(t) 的正确刻画是： A. N(t) 表示时刻 t 恰好发生一次更新 B. N(t) 是满足 Sₙ≤t 的最大 n，即 N(t) = max{n≥0 : Sₙ≤t} C. N(t) 表示时刻 t 之后的更新次数 D. N(t) 关于 t 单调递减且取值连续