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某统计计算中需解线性方程组 Ax=b，其中 A=diag(1,1000)。按二范数计算 A 的条件数，并判断当 b 的相对扰动为 10⁻⁶ 时，解的相对误差上界是否超过 10⁻³。
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设目标函数 f(x)=(x−2)²，从 x₀=10 出发以固定步长 α=1/4 作梯度下降，迭代为 xₖ₊₁=xₖ−αf′(xₖ)。以 |f′(xₖ)|≤0.6 作为停止准则。判断该迭代是否收敛；若收敛，求其极限，并求首次满足停止准则的迭代下标 k。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且均服从参数 λ=2 的指数分布，第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，计数函数 N(t)=max{n: Sₙ≤t}。试求：(1) P(N(3)=4)；(2) m(3)=E[N(3)]；(3) E[S_{N(3)+1}]。
目标分布为 p(x) ∝ 2x·e^(−x²)（x>0），采用独立提议的 Metropolis-Hastings 算法，提议分布为 q(x′)=e^(−x′)（x′>0）。已知当前状态 x=1，候选点由提议分布产生为 x′=2。计算接受概率 α(x, x′)，并判断若生成均匀随机数 u=0.9 时是否接受该候选点。
状态空间为{A,B,C}，目标分布的未归一化权重分别为1、3、2。当前状态为B，提议分布满足q(C|B)=1/2、q(B|C)=1/4。一次提议得到C，生成的均匀随机数为u=0.4。按Metropolis-Hastings算法计算接受概率，并确定下一状态。
设 {X[n], n∈ℤ} 为零均值宽平稳随机过程，自相关函数为 R_X[k]=(1/3)^|k|。定义线性滤波输出 Y[n]=X[n]+X[n−1]。计算 Y[n] 的均值与自相关函数，并判断 {Y[n]} 是否宽平稳。
为估计 I=∫₀¹ x³dx，直接抽样使用 2m 个相互独立的 Uᵢ∼U[0,1]，估计量为 D=(1/(2m))∑ᵢ₌₁²ᵐ Uᵢ³；对偶变量法使用 m 个相互独立的 Uᵢ∼U[0,1]，估计量为 A=(1/m)∑ᵢ₌₁ᵐ[Uᵢ³+(1−Uᵢ)³]/2。两种方法的函数值计算次数相同。求 Var(D)/Var(A)，并给出对偶变量法的方差缩减倍数。
用蒙特卡洛样本均值法估计定积分 I=∫₀¹ √x dx。取 U₁,…,U_n 为 (0,1) 上独立同均匀分布的随机数，写出相应的估计量 Î，并计算当 n=4、U₁=0.04, U₂=0.25, U₃=0.64, U₄=1 时的估计值。
设 U₁、U₂ 相互独立且均服从 U(0,1)，本次取值为 U₁=e^(−9/2)、U₂=1/3。按 Box–Muller 变换 Z₁=√(−2 ln U₁)cos(2πU₂)、Z₂=√(−2 ln U₁)sin(2πU₂)，求生成的标准正态随机数对 (Z₁,Z₂)。
设随机过程 X(t)=W·sin(2t)+t，t≥0，其中随机变量 W 满足 E[W]=3，E[W²]=13。求该过程的均值函数 m_X(t) 与自相关函数 R_X(s,t)。
设矩阵 A = [[1,0],[1,1],[1,2]]，观测向量 b = (1,2,2)ᵀ。已知 A 的 QR 分解中 Q = [[1/√3, −1/√2],[1/√3, 0],[1/√3, 1/√2]]，R = [[√3, √3],[0, √2]]。利用该 QR 分解求解最小二乘问题 min‖b − Ax̂‖₂，求出回归系数 x̂ = (x̂₁, x̂₂)ᵀ。
为估计某总体均值 θ，从样本计算出点估计 θ̂ = 5.2。进行 B = 1000 次自助重抽样，得到 1000 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。已知排序后的结果中 θ̂*_((24)) = 3.06，θ̂*_((25)) = 3.14，θ̂*_((26)) = 3.21，θ̂*_((974)) = 7.32，θ̂*_((975)) = 7.48，θ̂*_((976)) = 7.55。按百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取下、上分位点对应的次序统计量编号分别为 ⌈0.025B⌉ 和 ⌈0.975B⌉（即第 ⌈0.025×1000⌉ 个与第 ⌈0.975×1000⌉ 个次序统计量）。请写出该 95% 自助置信区间。
某统计量 θ̂ 的 B=500 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((500))。已知排序后第 13 个值为 3.8，第 488 个值为 9.2。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，应取哪两个次序统计量作为区间的上下端点？写出该置信区间。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²，梯度 ∇f(x,y)=(2x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(2,1)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代所得的点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)。
设目标分布定义在状态空间 {1,2,3} 上，概率为 p(1)=1/14, p(2)=4/14, p(3)=9/14。使用独立提议分布的 Metropolis-Hastings 采样，接受概率为 α(i→j)=min{1, [p(j)q(i)]/[p(i)q(j)]}。考虑两个提议分布：候选A为均匀分布 q(1)=q(2)=q(3)=1/3；候选B为 q(1)=1/6, q(2)=1/3, q(3)=1/2。对每个候选，先计算各状态处的比值 r(i)=p(i)/q(i)，再求三个状态的接受率 α(i→j)（对 i 固定、j 取其余两态）的平均值，最后求三状态平均的总体平均接受率。问：候选B的总体平均接受率是多少？它是否优于候选A？
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布，P(X=4)=1/3，P(X=6)=2/3。记第 n 个更新时刻 Sₙ=X₁+…+Xₙ，更新函数 m(t)=E[N(t)]。(1) 写出 m(t) 与 Sₙ 的关系式；(2) 求 m(17)。
设随机过程 X(t) = A，其中 A 为随机变量，其均值 E[A] = 0，方差 D[A] = 4。判断：过程 X(t) 是否为宽平稳过程？是否必为严平稳过程？并求其自相关函数 R_X(t₁, t₂) 与均值函数 m_X(t)。
设 {X(t), t∈R} 为弱平稳过程，其自相关函数为 R_X(τ)=4e^(−|τ|)cos(2τ)+9。请计算该过程的方差 D(X)。
某网络数据中心光模块故障次数 N(t) 是强度 λ=3（次/天）的泊松过程，相邻两次故障的到达时间间隔 X₁, X₂, … 相互独立。设从时刻 0 起已观察到 5 次故障，记 T 为从第 5 次故障时刻起直到第 6 次故障发生所需等待时间。(1) 写出 T 的分布类型与参数；(2) 利用指数分布的无记忆性说明 T 的分布与已发生 5 次故障这一事实无关，并求 P(T > 1/2)（单位：天）；(3) 求 E(T)。
用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ 1/(1+x) dx。设 U~Uniform(0,1)，估计量为 X̂=1/(1+U)。(1) 求 Var(X̂)，结果保留 4 位小数；(2) 若用独立同分布的 10000 个样本取平均作为估计量，求该估计量的方差（结果用科学计数法表示）。