全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
某统计量在原始样本上的估计值为 θ̂=10。现独立进行 4 次自助重抽样，得到统计量的自助估计值依次为 8、10、12、10。规定：偏差的自助估计 = 自助估计值的算术平均 − θ̂；标准误的自助估计 = 4 个自助估计值的样本标准差（除以 n−1，即 3）。据此，偏差估计与标准误估计分别为多少？ A. 偏差为 0，标准误为 √(8/3)≈1.633 B. 偏差为 0，标准误为 √2≈1.414 C. 偏差为 2，标准误为 √(8/3)≈1.633 D. 偏差为 0，标准误为 2√2≈2.828
登录后查看答案
某研究以施肥量 x 预测作物产量 y，线性回归软件给出斜率估计值为 0.84、标准误为 0.21。样本量较大，构造斜率的近似 95% 置信区间时取临界值 2。以下哪项正确？ A. (0.42, 1.26) B. (0.63, 1.05) C. (0.21, 1.47) D. (−0.84, 0.84)
求解线性方程组 5x₁−x₂+x₃=5，x₁+5x₂−x₃=9，−x₁+x₂+5x₃=3。采用 Gauss–Seidel 迭代法，按 x₁、x₂、x₃ 的顺序更新，初值为 (0,0,0)。完成两轮迭代后，所得向量为哪一个？ A. (1.224，1.6512，0.51456) B. (1.224，1.6512，0.48) C. (1.224，1.6，0.51456) D. (1.2，1.6512，0.51456)
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+2y²+xy，其梯度 ∇f(x,y)=(2x+y, 2y+x)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,2)，学习率（步长）α=1/4，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。则第二步迭代点 (x₂,y₂) 为 A. (−3/16, 3/8) B. (−1/4, 1/2) C. (3/16, −3/8) D. (0, 1/2)
用梯度下降法极小化 f(x)=3x²，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，取固定步长 α=0.5，初始点 x₀=1。设误差 e_k=x_k−0，则 e_k=q^k·e₀（q 为常数）。仅依据迭代序列的收敛性与停止准则判断，下列结论正确的是： A. 对任意 k≥1 都有 |e_k|<|e_0|，算法必收敛 B. q=−2，|q|>1，误差逐次放大，迭代序列发散，应停止并减小步长 C. q=−1，序列在 ±1 间振荡但不发散 D. q=0.5，序列单调收敛到极小点
设矩阵 A 的奇异值分解为 A = UΣVᵀ，且 Σ 的非零对角元为 6 和 2。矩阵 A 的谱范数 ||A||₂ 为多少？ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
已知矩阵 A = [[4, 12], [12, 37]]，则对 A 作 Cholesky 分解 A = LLᵀ，其中 L 为对角元为正的下三角矩阵。L 中两个对角元 l₁₁、l₂₂ 的乘积 l₁₁×l₂₂ 等于？ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
设 3×2 矩阵 A = [[2,1],[1,2],[1,-1]]，观测向量 b = (1,0,1)ᵀ（列向量）。A 的奇异值分解 A = UΣVᵀ，其中奇异值 σ₁ ≥ σ₂ > 0，V 的列向量 v₁, v₂ 为右奇异向量。记 β̂ = A⁺b 为最小二乘解。则 β̂ 在 v₂ 方向上的分量为 v₂ᵀβ̂，其值等于下列哪一项？ A. -3/√2 B. 3/√2 C. 1/√2 D. -1/√2
某统计问题需要从复杂高维后验分布 p(θ|x) 中抽样，已知该分布的概率密度函数可以逐点计算但无法解析归一化，且各维度间存在强非线性相关。为完成参数估计，下列算法选择中最合适的是： A. 直接逆变换抽样，因归一化常数未知仍可逐点归一化 B. 网格法枚举，维度高时网格点数随维数线性增长 C. 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC），构造平稳分布为 p(θ|x) 的马尔可夫链 D. 仅用牛顿-拉夫森法求众数，无需抽样即可得全部后验矩
矩阵 A 的奇异值分解为 A = U diag(5, 2) Vᵀ，其中 U、V 的列向量分别为正交向量。按奇异值分解的最佳低秩近似性质，A 的最佳秩 1 近似与 A 的 Frobenius 范数误差为多少？ A. 0 B. 2 C. 5 D. √29
设 f(x,y)=3x²+2y²+4xy，取初始点 x₀=(2,−1)ᵀ，用牛顿法求极小点。已知梯度 ∇f=(6x+4y, 4x+4y)ᵀ，Hessian 矩阵 H=[[6,4],[4,4]]。经一次牛顿迭代 x₁=x₀−H⁻¹∇f(x₀) 得到的迭代点为（ ）。 A. (1,0)ᵀ B. (0,0)ᵀ C. (−1,1)ᵀ D. (2,1)ᵀ
自助法（Bootstrap）的核心思想是用下列哪个分布来近似未知的总体分布，从而估计统计量的抽样分布？ A. 正态分布 B. 原始样本对应的经验分布 C. 均匀分布 D. 二项分布
对二次函数 f(x)=3x²−6x+5，从 x₀=0 出发，采用精确 Hessian 的牛顿法更新一次，所得 x₁ 为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设隐变量模型中 z∈{1,2}，观测值 x₁=2 与 x₂=4，两成分方差 σ²=1 已知，成分均值 μ₁ 待估（μ₂ 固定为 0）。EM 算法某次 E 步算得责任：γ₁=P(z₁=1|x₁)=0.75，γ₂=P(z₂=1|x₂)=0.25。Q 函数中与 μ₁ 有关的部分为 ∑ᵢ γᵢ·[−(xᵢ−μ₁)²/2]。则 M 步求得的 μ₁ 新估计值为多少？ A. 2.5 B. 2.0 C. 3.0 D. 1.5
考虑两个分量的伯努利混合模型，分量1的成功概率为p₁，混合权重为π₁；分量2参数在本轮M步中固定。观测为y₁=1、y₂=0、y₃=1，当前参数下E步得到分量1的责任度r₁=0.8、r₂=0.3、r₃=0.6。若本轮同时更新π₁与p₁，哪一项正确描述了EM步骤及更新结果？ A. E步最大化完整数据对数似然，M步计算责任度；π₁=17/30，p₁=14/17 B. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=17/30，p₁=14/17 C. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化期望完整数据对数似然；π₁=14/17，p₁=17/30 D. E步计算隐变量后验责任度，M步最大化观测数据对数似然；π₁=17/30，p₁=7/10
某研究者用平稳马尔可夫链的 n=600 个连续样本估计 Eπ[g(X)]。样本方差为 6，样本自相关估计为 ρ₁=0.5、ρ₂=0.25；按截断到滞后 2 的估计，令其余滞后自相关为 0。估计该样本均值的标准误约为多少？ A. 0.100 B. 0.158 C. 0.250 D. 0.395
在 Metropolis-Hastings 算法的一次迭代中，若候选点 x′ 被拒绝，则链的下一个状态应取为：A. 重新抽取一个新的候选点 B. 保持当前状态 x 不变 C. 取候选点 x′ 的负值 D. 直接返回初始状态重新出发
马尔可夫链的转移概率为 pᵢⱼ，候选平稳分布为 π。下列哪一条件是细致平衡条件？ A. 对所有 i、j，πᵢpᵢⱼ = πⱼpⱼᵢ B. 对所有 i、j，pᵢⱼ = pⱼᵢ C. 对所有 i，πᵢ = pᵢᵢ D. 对所有 i、j，πᵢpᵢⱼ = πᵢpⱼᵢ
采用自归一化重要性采样估计某函数在目标分布下的期望时，以下哪种做法符合该方法？ A. 将各样本的重要性权重归一化后，用其加权函数值之和作为估计 B. 将各样本的重要性权重直接作为估计值 C. 仅使用权重最大的样本对应的函数值作为估计 D. 不使用重要性权重，直接对函数值取算术平均
用自归一化重要性采样估计 μ=E_f[h(X)]。从提议分布 g 抽得三个样本 x₁,x₂,x₃，对应 h(x) 的值依次为 4、10、6，对应的重要性权重（未归一化）依次为 2、5、3。则 μ 的自归一化重要性采样估计值为（ ） A. 20/3 B. 76 C. 7.6 D. 6.5