大学概率论与数理统计上册《大数定律与中心极限定理》练习题

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本单元考点（4 个）

切比雪夫不等式大数定律及其意义中心极限定理棣莫弗-拉普拉斯定理

题目预览（5/27 题）

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1. 设 X₁, X₂, …, Xₙ 为独立同分布的随机变量序列，E(Xᵢ)=2，D(Xᵢ)=4（i=1,2,…）。记 X̄ₙ=(1/n)∑Xᵢ。试用切比雪夫不等式估计：当 n=400 时，概率 P(|X̄₄₀₀−2|<0.2) 的下界，并说明该结果如何体现大数定律的意义。

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2. 某型电池的使用寿命（单位：小时）服从参数 λ=0.01 的指数分布。一设备需连续使用 30 个同型独立电池（用完即换）。试利用中心极限定理估算：这 30 个电池的总使用寿命超过 3200 小时的概率约为多少？（附：Φ(0.36)≈0.6406，Φ(0.37)≈0.6443）

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3. 某车间有 100 台相互独立工作的机床，每台机床的耗电量（单位：千瓦）的数学期望为 5，标准差为 0.5。设同昼夜地观察这一批机床，用中心极限定理估算：这 100 台机床昼夜总耗电量超过 510 千瓦的概率约为多少？ A. 0.0228　B. 0.9772　C. 0.4772　D. 0.0456

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4. 某测量系统每次独立采集一个随机噪声电压 X（单位：毫伏），X 在区间 [0,10] 上服从均匀分布。系统连续独立采集 40 次，得到 X₁, X₂, …, X₄₀，记总噪声电压为 T = X₁ + X₂ + … + X₄₀。试用独立同分布的中心极限定理估算：(1) T 的近似分布；(2) 概率 P(T > 240)（精确到小数点后四位；Φ(2.19) ≈ 0.9857）。

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5. 设某排版系统每页出现的排版错误数相互独立，且均服从参数 λ=2 的泊松分布。现随机抽取 100 页，记第 i 页的错误数为 Xᵢ（i=1,2,…,100），总错误数 T = X₁+X₂+…+X₁₀₀。试用中心极限定理估算概率 P(T ≤ 180)（结果保留四位小数，参考值 Φ(1.41)≈0.9207，Φ(1.42)≈0.9222）。

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