大学高等代数（大学通用）上册《二次型》练习题

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本单元考点（4 个）

二次型的矩阵表示化二次型为标准形惯性定理与规范形正定二次型的判定

题目预览（5/9 题）

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1. 已知二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+tx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃（t 为实参数）正定的充要条件是 t>k，则整数 k 的最小取值为（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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2. 下列二次型中，为正定二次型的是（　） A. f₁=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂ B. f₂=x₁²+2x₂²+3x₃²+4x₁x₂ C. f₃=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂ D. f₄=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃

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3. 二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²−2x₁x₂+4x₁x₃+3x₂²+6x₂x₃+2x₃² 的矩阵为（　） A. [[1,−1,2],[−1,3,3],[2,3,2]]　B. [[1,−2,4],[−2,3,6],[4,6,2]]　C. [[1,−1,4],[−1,3,6],[2,3,2]]　D. [[1,−1,2],[−1,3,3],[4,6,2]]

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4. 用配方法化二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₂x₃ 为标准形，则该标准形可为（　） A. y₁²+y₂²+y₃² B. y₁²+y₂² C. y₁²−y₂²+y₃² D. y₁²+y₂²−y₃²

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5. 已知二次型 f(x₁,x₂,x₃) 的秩为 3，且正惯性指数为 2，则由惯性定理，该二次型的规范形为（　　）A. y₁²+y₂²−y₃² B. y₁²+y₂²+y₃² C. y₁²−y₂²−y₃² D. y₁²+y₂²

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