大学复变函数与积分变换（大学通用）上册《级数》练习题

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本单元考点（2 个）

泰勒展开洛朗展开

本单元练习题（9 题）

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1. 将函数 f(z)=1/(1+z²) 在 z₀=1 处展开为泰勒级数 f(z)=∑aₙ(z-1)ⁿ，则该级数的收敛半径 r 与系数 a₂ 分别为（　　） A. r=√2，a₂=1/4 B. r=1，a₂=1/2 C. r=2，a₂=1/4 D. r=√2，a₂=−1/4

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2. 将函数 f(z)=1/(z²+4) 在 z₀=1 处展开为泰勒级数 f(z)=∑aₙ(z-1)ⁿ，则该级数的收敛半径 r 与系数 a₂ 分别为（　　） A. r=√5，a₂=-1/125 B. r=2，a₂=1/125 C. r=√5，a₂=1/125 D. r=√2，a₂=-1/125

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3. 函数 f(z)=1/(3-z) 在 z₀=1 处展开为泰勒级数，则其展开式及成立的圆域为（　） A. Σ(z-1)ⁿ/n!，|z-1|<∞ B. Σ(z-1)ⁿ/2ⁿ⁺¹，|z-1|<2 C. Σ(z-1)ⁿ/3ⁿ，|z|<3 D. Σ(z-1)ⁿ/2ⁿ，|z-1|<1

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4. 将函数 f(z)=1/(4-z) 在圆域 |z|<R 内展开为 z 的幂级数，利用间接法 1/(1-w)=∑wⁿ（|w|<1）可得 f(z)=(1/4)∑(z/4)ⁿ。问该幂级数的收敛半径 R 等于多少？ A. 1/4　B. 4　C. 1　D. 2

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5. 设 f(z)=1/((z-1)(z-2))，将 f(z) 在 z=0 处展开为泰勒级数 f(z)=∑aₙzⁿ，则收敛圆的半径 r 与系数 a₂ 分别为（　　） A. r=1，a₂=7/8　B. r=2，a₂=7/8　C. r=1，a₂=3/4　D. r=2，a₂=15/16

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6. 将函数 f(z)=1/(2-z) 在 z₀=0 处展开为泰勒级数，利用间接法可得其展开式及收敛圆为（　　） A. ∑zⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<2 B. ∑zⁿ/2ⁿ，|z|<1 C. ∑zⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<1 D. ∑(−1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<2

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7. 设 f(z)=1/[z²(z−1)]，在圆环域 |z|>1 内将 f(z) 展开为洛朗级数 f(z)=∑ c₋ₙ z^(−n)+∑ cₙ zⁿ，则 z^(−3) 的系数为多少？ A. −1　B. 1　C. 2　D. 0

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8. 将函数 f(z)=1/(2+z) 在 z₀=0 处展开为泰勒级数，则其展开式及成立的圆域为（　　） A. ∑(-1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<2 B. ∑zⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<2 C. ∑(-1)ⁿzⁿ/2ⁿ⁺¹，|z|<1 D. ∑(-1)ⁿzⁿ/2ⁿ，|z|<2

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9. 设 f(z)=1/[z(z−2)]，在圆环域 0<|z|<2 内将 f(z) 展开为洛朗级数，则该展开式中 z^(−1) 项的系数为 A. −1/2　B. −1/4　C. 1/2　D. −1

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