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某客服中心顾客来电次数 N(t) 是强度 λ=0.5（次/分钟）的泊松过程。设 X₃ 为第 3 个来电与第 2 个来电之间的时间间隔，则 X₃ 服从参数为____的指数分布，其均值 E[X₃]=____分钟，且 X₃ 大于 4 分钟的概率 P(X₃>4)=____（结果用 e 的幂表示）。
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设观测数据 (xᵢ, yᵢ) 为 (1, 3)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 8)。采用 Nadaraya-Watson 核回归估计 m̂(x)=∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，核函数取 Epanechnikov 核 K(t)=(3/4)(1−t²)（当 |t|≤1，否则 K(t)=0），带宽 h=1。求 m̂(2.5) 的值。
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(0,1)、(1,2)、(3,5)、(4,7)。在 x₀=2 处作局部线性回归，即最小化 ∑ᵢ K((xᵢ−x₀)/h)(yᵢ−a−b(xᵢ−x₀))²，核函数取 K(t)=1−|t|（|t|≤1，否则为0），带宽 h=2。则截距 a 的加权最小二乘估计为多少？ A. 3.5 B. 3.0 C. 4.0 D. 2.5
设回归模型为 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i = 1, 2, 3），其中 m(x) = 2x + 1，εᵢ 为零均值随机误差且相互独立。在 x₀ = 3 处采用局部加权回归光滑器 m̂(3) = 0.3·Y₁ + 0.4·Y₂ + 0.3·Y₃，其中 x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = 4（权重关于 x₀ 对称且总和为 1）。由于权重对称且总和为 1，对线性回归函数 m 而言该光滑器是无偏的。则 E[m̂(3)] = ____。
在核密度估计中，考虑三角核 K(u)=1−|u|（当 |u|≤1 时），K(u)=0（当 |u|>1 时），以及 Epanechnikov 核 K₂(u)=3/4·(1−u²)（当 |u|≤1 时），否则为 0。(1) 验证三角核满足 K(u)≥0 且 ∫K(u)du=1；(2) 计算三角核的二阶矩 μ₂(K)=∫u²K(u)du；(3) 已知 Epanechnikov 核的二阶矩为 1/5，求三角核与 Epanechnikov 核二阶矩之比，并指出哪个核的二阶矩更小。
在核密度估计中，带宽 h 越大平滑程度越强；渐近均方积分误差满足 AMISE(h)=Ah⁴+B/(nh)。某研究组取核与密度使 A=2、B=3，样本量 n=375。为使 AMISE 达到最小，带宽 h 应取为（ ） A. 0.05 B. 0.10 C. 0.25 D. 0.50
为比较三种工艺生产的产品寿命的总体中位数是否存在差异，从每个工艺的总体中各独立抽取 6 个观测值，共 18 个数据合并后求得合并中位数 m。以 m 上方与下方的观测数（不含等于 m 者）构造中位数检验的卡方统计量。已知各工艺落在 m 上方的观测数依次为 6、2、1，取显著性水平 α=0.05，查得 χ²(0.05, 2)=5.991。问正确的检验结论是什么？ A. χ²≈9.33>5.991，拒绝原假设，认为三种工艺寿命的中位数不全相同 B. χ²≈2.67<5.991，不拒绝原假设，认为三种工艺寿命的中位数相同 C. χ²≈9.33>5.991，不拒绝原假设，因样本量太小证据不足 D. χ²≈6.33>5.991，拒绝原假设，但应改用 t 检验验证
某食品研究所考察三种包装工艺对食品保质期的影响，分别从三种工艺下独立抽取样本，测得保质期（单位：月）如下：工艺A：3，5，7，9，12；工艺B：2，6，8，11，15；工艺C：1，4，10，14。试用中位数检验的基本思想完成：（1）求合并样本的中位数 M；（2）统计各组大于 M 与小于等于 M 的观测个数，写出 3×2 列联表；（3）计算 Pearson 卡方统计量 χ²（列联表卡方公式），并在显著性水平 α=0.05 下判断三种工艺保质期的中位数是否有显著差异（临界值 χ²₀.₀₅(2)=5.991）。
某工厂共有 N=72 台设备，按编号 1 至 72 顺序排列，欲抽取 n=9 台进行性能检测，采用线性系统抽样。抽样间隔 K=72/9=8，在 1 至 8 中随机确定起点 r=5，沿编号递增方向等距依次抽取 9 台。问被抽中的最后一台设备的编号是多少？
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/2，P(Xᵢ=0)=1/2，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1）。由于各因子非负且 E[Xᵢ]=1，{Mₙ} 是关于自然 filtration 的非负鞅，故由鞅收敛定理，Mₙ 几乎处处收敛到某随机变量 M∞，且 E[Mₙ]=____。另一方面，因为每个因子以概率 1/2 取 0，对任意 n≥1 有 P(Mₙ=0)≥1/2，且 E[log X₁]=−∞，可证 M∞=0 几乎处处成立，故 E[M∞]=____。此例说明非负鞅的几乎处处收敛一般____（填「能」或「不能」）推出 L¹ 收敛。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=-1)=1/2），则 {Sₙ} 是鞅。令停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}，且已知 P(T<∞)=1。由鞅性质及 |S_T|=3 与 E[S_T]=0 可得 P(S_T=3)=____；再由 E[Sₙ²]−n 为鞅并结合可选停时定理，可得 E[T]=____。
设 {Sₙ} 为简单对称随机游动（S₀=0，每步以概率 1/2 取 ±1），{Fₙ} 为其自然 σ-代数。已知 {Xₙ}（Xₙ=2Sₙ²+3n）关于 {Fₙ} 是下鞅，按杜布分解定理可唯一写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中 {Mₙ} 是鞅且 A₀=0、{Aₙ} 是可料递增过程。则 A₅ 等于多少？ A. 10 B. 13 C. 25 D. 5
设马尔可夫链状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0,1,0],[1/2,0,1/2],[0,0,1]]。下列关于状态分类的结论正确的是： A. 三个状态均为常返态 B. 状态 1 与 2 常返，状态 3 瞬过 C. 仅状态 3 为常返态，状态 1 与 2 均为瞬过态 D. 仅状态 1 为瞬过态，状态 2 与 3 均为常返态
设马尔可夫链 {X(n), n≥0} 的状态空间为 {0,1}，转移概率为 P(0,0)=0, P(0,1)=1, P(1,0)=1, P(1,1)=0。考察状态 0 的周期性：下列关于状态 0 的周期 d(0) 及 lim(n→∞) P^n(0,0) 的结论正确的是？ A. d(0)=1，且 lim(n→∞) P^n(0,0)=0 B. d(0)=2，且 lim(n→∞) P^n(0,0) 不存在 C. d(0)=2，且 lim(n→∞) P^n(0,0)=1/2 D. d(0)=0，且 lim(n→∞) P^n(0,0) 不存在
某灯泡按更新过程更换，每次更换后灯泡寿命恰为4小时。设刚在时刻0安装了新灯泡，此后一旦烧坏立即更换。则在时刻 t=6 小时观察时，当前灯泡已使用的时间（年龄过程 A(6)）为____小时，距下次更换的剩余寿命 γ(6) 为____小时。
设 {N₁(t)} 与 {N₂(t)} 是相互独立的泊松过程，强度分别为 λ₁=2（件/小时）与 λ₂=3（件/小时）。将两类事件按到达时刻合并为一个叠加过程 {N(t)}。（1）写出 {N(t)} 的强度；（2）已知到时刻 t 时合并过程共到达了 4 个事件，求其中恰好有 2 个事件来自过程 {N₁(t)} 的概率。
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，X(t)=Y+Zt²，其中 Y~N(0,1)，Z~N(0,2)，且 Y 与 Z 相互独立。(1) 判断该过程是否具有独立增量性，是否具有平稳增量性，均需说明理由；(2) 对 0≤s<t，写出增量 X(t)−X(s) 的方差的一般表达式 Var(X(t)−X(s))；(3) 据此计算 Var(X(2)−X(1)) 的值。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ=2 的泊松过程，每次事件到达伴随的赔付额 Xᵢ 相互独立同分布，且 P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=3)=1/2，与 {N(t)} 独立。记复合泊松过程 S(t)=∑ᵢ₌₁^N(t) Xᵢ，则 S(t) 的期望 E[S(t)] 为（ ）。A. 2t B. 4t C. t D. 8t
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,9)。在 x₀=2 处作局部线性回归（局部一次多项式拟合），核函数取 K(t)=(1−t²)₊，带宽 h=2，即权重 wᵢ=K((xᵢ−x₀)/h)。则该局部线性拟合在 x₀=2 处的拟合值 ŷ(2) 为多少？ A. 3.0 B. 3.3 C. 3.5 D. 3.75
设 {X(t), t≥0} 为随机过程，Y 与 Z 为相互独立的非退化随机变量。考察以下四个过程： (甲) X(t)=Y+Zt； (乙) X(t)=Zt²； (丙) X(t)=Y； (丁) X(t)=Z·sin t。 则其中既是独立增量过程又是平稳增量过程的是 A. 仅甲 B. 仅乙 C. 仅丙 D. 仅丁