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某公司研究员工月薪 y（千元）与工作年限 x（年）的关系，并考察性别（男 D=1，女 D=0）的影响，设定模型：y = β₀ + β₁x + β₂D + β₃(D×x) + ε。回归后得：β̂₀ = 4, β̂₁ = 0.5, β̂₂ = 1.5, β̂₃ = -0.2。据此，男性员工与女性员工月薪关于工作年限的斜率之差（男性减女性）及两直线交点处的工作年限分别为：A. 斜率差 -0.2，交点 x = 7.5 B. 斜率差 0.2，交点 x = 7.5 C. 斜率差 -0.2，交点 x = 10 D. 斜率差 -1.3，交点 x = 7.5
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在正交单位化设计（XᵀX = I）下，Lasso 解为软阈值形式 β̂ⱼ = sign(bⱼ)·max(|bⱼ| − λ, 0)，其中 bⱼ 为最小二乘系数，λ > 0。设某模型的最小二乘系数为 b₁ = 6，b₂ = −3，b₃ = 1。问：λ 取下列哪个值时，Lasso 恰好保留两个非零系数？ A. λ = 0.5 B. λ = 2 C. λ = 4 D. λ = 7
某物流公司研究员工日工资的影响因素，拟建立回归模型，解释变量包括工作年限 x（定量，单位：年）与是否持有职业资格证书（定性，含两个互斥类别：已持有、未持有）。请以「未持有」为基准类别设置虚拟变量 D，写出 D 的取值规则，并写出含该虚拟变量的回归模型的一般形式（参数用 β₀、β₁、β₂ 表示），同时说明系数 β₂ 的含义。
某研究采用向前逐步回归建立 y 关于 x₁、x₂、x₃、x₄ 的线性回归模型，引入变量的门槛为候选变量的偏 F 统计量大于 4.00。各步候选变量的偏 F 值如下：第一步，x₁、x₂、x₃、x₄ 的偏 F 值分别为 8.1、5.2、3.9、6.5；第二步（以已引入变量为条件），x₂、x₃、x₄ 的偏 F 值分别为 7.2、4.5、2.1；第三步，x₃、x₄ 的偏 F 值分别为 6.0、1.8；第四步，x₄ 的偏 F 值为 0.5。按向前逐步回归规则，第二个被引入模型的变量及最终入选的自变量集合是 A. x₂；最终入选 {x₁, x₂, x₃} B. x₄；最终入选 {x₁, x₂, x₄} C. x₃；最终入选 {x₁, x₃, x₄} D. x₂；最终入选 {x₁, x₂, x₃, x₄}
某研究小组考察催化剂用量 x 与反应速率 y 的关系，拟用模型 y = a·e^(b√x)（a>0）拟合。为线性化，对模型两边取自然对数，令 z = ln y，t = √x，则 z = ln a + b·t。实验获得三组数据：(1, 3e^0.5)，(4, 3e)，(9, 3e^1.5)。（1）写出变换后各点的坐标 (tᵢ, zᵢ)；（2）由这三点求出 b 与 a 的值；（3）据此预测 x = 25 时 y 的值（结果用 e 的幂表示）。
某厂商研究产量 x 与成本 y 的关系，选用幂函数模型 y = a·x^b（a>0, x>0）。对模型两边取自然对数，令 z = ln y，t = ln x，则模型化为线性形式。若已知经验数据 (x, y) = (4, 10) 与 (16, 40) 恰好完全落在该曲线上，则线性化后的斜率 b = ____；进而求得 a = ____；并据此预测 x = 36 时的成本 y = ____。
岭回归的基本思想是在最小二乘的残差平方和上增加一个惩罚项，由此得到岭估计 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。当惩罚参数 λ 逐渐增大时，岭估计的系数整体会呈现怎样的变化趋势？A. 所有系数始终精确保持不变 B. 系数整体被压缩，绝对值逐渐减小，估计更稳定 C. 部分系数被精确压缩为零，实现变量选择 D. 系数绝对值逐渐增大并趋于无穷
在某地区商品房价格研究项目中，研究者建立了以房价（万元）为因变量，房屋面积 x₁、房间数 x₂、房龄 x₃ 为解释变量的多元线性回归模型。收集数据后发现：x₁ 与 x₂ 的样本相关系数高达 0.97，且对 x₂ 关于 x₁ 作辅助回归的可决系数 R²=0.9409。某同学据此认为：「既然 R² 很高，说明模型整体拟合优度好，因此 x₁ 与 x₂ 之间的这种关系对回归分析没有危害，可以不作处理。」请回答：(1) 指出该同学说法中的判断错误，说明 x₁ 与 x₂ 之间存在何种问题；(2) 说明这种问题会导致最小二乘回归系数估计值出现哪些危害（至少写出两条）；(3) 计算方差膨胀因子 VIF₂=1/(1-R²) 的数值，并依据经验法则 VIF>10 判断共线性是否严重。
在含截距的一元线性回归诊断中，基于 n=18 组观测拟合模型，自变量个数为 1，残差平方和 SSE=64。已知第 3 个观测点的普通残差 e₃=6，杠杆值 h₃₃=0.91。则该观测点的学生化残差与标准化残差分别为（ ） A. 10 与 3 B. 3 与 10 C. 10.39 与 3.18 D. 3.75 与 3.35
在某回归模型的共线性诊断中，已知解释变量 x₂ 关于其余解释变量作辅助回归所得的判定系数 R² 满足：该变量的方差膨胀因子 VIF = 5。由此可知辅助回归的判定系数 R² = ____，并据此判断该变量的共线性程度（通常以 VIF > 10 为严重共线）。下列选项正确的是（ ） A. R² = 0.8，存在较严重共线性 B. R² = 0.9，不存在共线性 C. R² = 0.8，不存在共线性 D. R² = 0.5，存在严重共线性
在某市写字楼租金影响因素的回归研究中，以月租金（元/㎡）为因变量，解释变量包括建筑面积 x₁、写字楼等级评分 x₂、周边写字楼空置率 x₃ 与入驻企业数量 x₄。研究者发现 x₄ 与 x₁、x₃ 之间存在近似精确的线性关系，即 x₄ ≈ 0.6x₁ − 120x₃ + 500，其判定系数高达 0.998。据此回答：这种解释变量之间存在近似线性关系的现象称为多重共线性，其最典型的危害是使最小二乘估计量的方差显著____，导致回归系数估计____（填“稳定”或“不稳定”），显著性检验容易得出解释变量____的误判（填“显著”或“不显著”）。
在研究某地区每月用电量 y 关于平均气温 x 的线性回归时，得到 32 组残差。为检验误差方差齐性，采用 Goldfeld-Quandt 检验：将气温从小到大排序后剔除中间 6 组数据，前 13 组与后 13 组的残差平方和分别为 SSE₁=39 与 SSE₂=117，构造统计量 F=SSE₂/SSE₁，其在显著性水平 α=0.05 下的临界值为 F₀.₀₅(11,11)=2.82。为检验误差项正态性，计算得残差的 Shapiro-Wilk 统计量 W=0.958，临界值 W₀.₀₅(32)=0.930。试计算 F 统计量的值，并在 α=0.05 下分别给出方差齐性与正态性检验的结论。
在线性回归诊断中，若怀疑误差方差随自变量 x 增大而增大，可采用 Spearman 秩相关检验：将 |eᵢ| 与 xᵢ 分别排秩后计算秩相关系数 rₛ，并在 α=0.05 下与临界值比较（样本量 n=20 时双侧临界值 rₛ₀.₀₅=0.450）。现有某次诊断算得 rₛ=0.612。下列判断正确的是： A. |rₛ|>rₛ₀.₀₅，拒绝方差齐性假设，认为存在递增型异方差 B. |rₛ|>rₛ₀.₀₅，接受方差齐性假设 C. |rₛ|<rₛ₀.₀₅，拒绝方差齐性假设，认为存在递减型异方差 D. 该检验用于检验误差项正态性，与方差齐性无关
在某多元线性回归诊断中，基于 n=21 个观测拟合了含 p=3 个回归参数（含截距）的线性模型。已知第 9 个观测点的普通残差 e₉=6，误差方差估计 s²=4，杠杆值 h₉₉=0.5。库克距离的计算公式为 D_i = (r_i²/p)·(h_ii/(1−h_ii))，其中 r_i 为标准化残差，满足 r_i² = e_i²/(s²·h_ii)。请计算第 9 个观测点的库克距离 D₉，并判断该点（以 D_i>1 为强影响点判别标准）是否为强影响点。
在一元线性回归诊断中，基于 n=16 组观测拟合含截距的模型，误差均方 MSE=2.25。已知第 5 个观测点的残差 e₅=3，杠杆值 h₅₅=0.36。求该点的标准化残差（内学生化残差）r₅=e₅/(s·√(1−h₅₅))，其中 s=√MSE，并判断其绝对值是否超过 2（即是否提示可能的异常值）。
在某地区用电量 y 关于平均气温 x 的线性回归诊断中，由残差 eᵢ 计算得 Shapiro-Wilk 正态性检验统计量 W=0.972，在显著性水平 α=0.05 下样本量 n=32 对应的临界值为 W₀.₀₅=0.930。由于 W____W₀.₀₅，故____原假设（填"不拒绝"或"拒绝"），可认为误差项____正态性（填"满足"或"不满足"）。
在研究某地区空气质量指数的多元线性回归中，基于同一批样本（n=20）建立两个模型：模型A含3个自变量，决定系数R²=0.65；模型B含6个自变量，决定系数R²=0.70。利用调整决定系数 R̄² = 1 - (n-1)/(n-p) × (1-R²) 比较两模型（p为自变量个数），则调整决定系数较大的模型是____，其调整决定系数约为____（保留三位小数）。
在某地区空气质量影响因素的多元线性回归研究中，基于同一样本（n=18）建立两个模型：模型A含5个自变量，决定系数R²=0.78；模型B含2个自变量，决定系数R²=0.76。利用调整决定系数 R̄² = 1 - (n-1)/(n-p) × (1-R²) 进行比较（结果保留三位小数），调整决定系数较大的模型是____，其调整决定系数约为____。
某物流公司研究运输里程 x（百公里）与燃油消耗 y（升）的关系，随机抽取 10 条线路建立一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε。经计算得回归平方和 SSR=81，总平方和 SST=90。取显著性水平 α=0.05，已知 F₀.₀₅(1,8)=5.32。对回归方程作显著性检验 H₀: β₁=0，则检验统计量 F=____；由于 F 与临界值的大小关系可知，在 α=0.05 下回归方程（填“显著”或“不显著”）____。
某电子元件厂标称其电池的续航时间为400小时。设电池续航时间 X～N(μ, σ²)，σ 未知。质检部门随机抽取9块电池进行测试，测得样本均值 x̄=405.6 小时，样本标准差 s=4.8 小时。取显著性水平 α=0.05，已知 t₀.₀₂₅(8)=2.306。请在显著性水平0.05下检验电池续航时间是否与标称值400小时存在显著差异，写出假设检验的完整步骤并给出结论。