大学时间序列分析上册《时间序列预测与模型诊断》练习题

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本单元考点（4 个）

模型诊断中的残差白噪声检验AIC与BIC准则点预测与预测区间预测精度评价指标MSE/MAE

题目预览（5/27 题）

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1. 设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.5·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为白噪声，方差 σ²=4。已知 X_100 = 8。用最小均方误差准则求 X_102 的点预测值，并写出其 95% 预测区间（预测误差方差为 σ²(1+φ²)，取 1.96·√5≈4.38）。 A. 点预测 2，区间 [−2.38, 6.38] B. 点预测 4，区间 [−0.38, 8.38] C. 点预测 2，区间 [1.96, 2.04] D. 点预测 8，区间 [3.62, 12.38]

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2. 某学生用两个AR模型拟合同一组长度 n=100 的时间序列数据，已知模型M₁的残差平方和对应的极大似然估计下的对数似然值为 -150，自由参数个数 k₁=3；模型M₂的对数似然值为 -148，自由参数个数 k₂=6。则按 AIC = -2ln(L) + 2k 准则，M₁的AIC值为____，M₂的AIC值为____，应选择模型____（填 M₁ 或 M₂）。

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3. 对某 ARMA 模型的残差序列 {εₜ}（样本量 n=100）作白噪声检验，取 m=5，测得各阶残差自相关系数为 ρ̂₁=0.10, ρ̂₂=0.12, ρ̂₃=0.08, ρ̂₄=0.06, ρ̂₅=0.10。计算 Ljung-Box 统计量 Q = n(n+2)∑ₖ₌₁⁵ [ρ̂ₖ²/(n−k)]（结果保留两位小数），并与临界值 χ²₀.₀₅(5)=11.07 比较：因 Q=____ 小于临界值，故在 0.05 显著性水平下认为残差____白噪声序列（填“是”或“不是”）。

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4. 某研究小组用两个候选模型拟合同一组长度 n=50 的时间序列数据。已知模型 A 的极大对数似然值为 lnL_A=-80，自由参数个数 k_A=2；模型 B 的极大对数似然值为 lnL_B=-78，自由参数个数 k_B=4。采用 AIC=-2lnL+2k 与 BIC=-2lnL+k·ln(n) 进行模型比较（ln50≈3.912）。请分别计算两个模型的 AIC 与 BIC 值，并说明：在 AIC 准则下两模型如何取舍？在 BIC 准则下应选择哪个模型？

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5. 某研究组对 n=240 的月度序列拟合 ARMA 模型后，得到残差序列的自相关系数如下：r₁=0.12，r₂=0.15，r₃=−0.10，r₄=0.08，r₅=0.06，r₆=0.05。采用 Ljung-Box 统计量 Q = n(n+2)∑(r_k²/(n−k))（k 从 1 到 m）对残差进行白噪声检验，取 m=6，显著性水平 α=0.05，χ² 分布上侧分位数 χ²₀.₀₅(6)=12.592。请计算 Q 的值（保留两位小数），并判断能否认为残差是白噪声。

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