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设随机变量序列 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，且对任意 n，条件分布 P(Xₙ₊₁=j | X₁, X₂, …, Xₙ) 仅依赖于 Xₙ 的取值。该序列满足马尔可夫性（无记忆性）的一步转移概率 P(Xₙ₊₁=j | Xₙ=i) 与 n 和历史状态均无关。下列哪一项是该序列成为马尔可夫链的本质特征？ A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态 A. 状态空间必须是有限集 B. 下一步的状态分布只依赖于当前状态，与更早的历史无关 C. 转移概率必须随时间 n 变化 D. 每个状态必须能转移到其他任意状态
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用控制变量法估计积分 I=∫₀¹ eˣdx。取 X 服从 U(0,1)，以 h(X)=e^X 为基本估计量，并选已知期望 E[X]=1/2 的随机变量 X 本身作控制变量，即用 Y=e^X+c(X−1/2) 估计。现有三个样本 X₁=0.1、X₂=0.3、X₃=0.8（对应 e^0.1≈1.10517，e^0.3≈1.34986，e^0.8≈2.22554）。先用样本协方差与样本方差估计最优系数 c，再求控制变量估计量的值（保留三位小数）。 A. 1.560 B. 1.690 C. 1.723 D. 1.718
在分层采样中，将总体划分为若干层后，需要在各层内分别抽取样本，再将各层估计量按层权重加权合并得到总体估计。这样做能降低估计方差的根本原因是：分层采样利用了总体先验信息，使每个层内部的个体（ ） A. 之间差异尽可能大，而不同层之间差异尽可能小 B. 之间尽可能相似（层内同质），而不同层之间差异尽可能大（层间异质） C. 与不同层之间的个体完全无差异，从而增大有效样本量 D. 的分布完全不相关，从而消除所有随机误差
设 {Mₙ} 是关于 {Fₙ} 的非负鞅，M₀ 为常数。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某随机变量 M∞。试判断下列结论中必然成立的是哪一个。 A. E[M∞] = M₀ 且 Mₙ 依 L¹ 收敛于 M∞ B. E[M∞] ≤ M₀，但 Mₙ 未必依 L¹ 收敛于 M∞ C. E[M∞] ≥ M₀ D. Mₙ 几乎必然收敛到常数 M₀
设 {Xₙ, n≥0} 是关于 {Fₙ} 的下鞅，且 E[Xₙ]<∞ 对每个 n 成立。根据杜布分解定理，可将 Xₙ 分解为 Xₙ=Mₙ+Aₙ，其中下列结论正确的是：A. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀=0 B. {Mₙ} 是下鞅，{Aₙ} 是可料递减过程且 A₀=0 C. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是任意适应过程且 A₀=0 D. {Mₙ} 是鞅，{Aₙ} 是可料递增过程且 A₀ 可取任意实数
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为（第 i 行第 j 列元素为 q_ij）：Q = [ -4, 1, 3; 0, -2, 2; 5, 1, -6 ]。则 p₃₁'(0) 等于多少？ A. 1 B. -6 C. 5 D. 6
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 q₃₁=2，q₃₃=-7，且状态 3 只向状态 1、2 转移，则 p₃₂'(0) 等于多少？ A. 2 B. 5 C. 7 D. 9
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=1, λ₁=2, λ₂=3（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=4, μ₂=6, μ₃=8。若该过程存在平稳分布 {πₙ, n=0,1,2,3}，则 π₀ 等于多少？ A. 96/131 B. 24/131 C. 8/131 D. 3/131
某统计量 θ̂ 的 200 个自助重抽样估计值已从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((200))。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，取 α=0.05，下、上端点分别取第 ⌈0.025×200⌉=5 个与第 ⌈0.975×200⌉=195 个次序统计量。已知 θ̂*_((5)) = 2.8，θ̂*_((195)) = 4.6。该自助置信区间为（ ） A. (2.8, 4.6) B. (2.8, 4.0) C. (3.0, 4.6) D. (2.5, 4.9)
设样本 x₁,…,x₅ = 2,4,6,8,10。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测，计算其余 n−1 个观测的均值 x̄₍ᵢ₎，再由 Jackknife 公式 SE_JK = √[ ((n−1)/n)·∑(x̄₍ᵢ₎−x̄₍·₎)² ] 求值。该 Jackknife 标准误等于（ ） A. √2 ≈ 1.414 B. √10/5 ≈ 0.632 C. 2√2 ≈ 2.828 D. √5/2 ≈ 1.118
关于自助法（Bootstrap）重抽样的基本做法，下列说法正确的是（ ） A. 从总体中重新抽取多个独立样本，每次样本量等于原样本量 B. 从原始样本中有放回地随机抽取观测，构造与原样本同大小的重抽样样本 C. 将原始样本随机划分为若干子样本，分别计算统计量 D. 对原始样本的每个观测值乘以一个随机扰动项，构造新样本
在EM算法中，记 θ^(t) 为第 t 次迭代后的参数估计。关于其单调性与收敛性，下列说法正确的是：A. 每次迭代后观测数据的对数似然 L(θ^(t+1)) ≥ L(θ^(t))，但不保证收敛到全局最大值点 B. 每次迭代后对数似然严格递增，且必收敛到全局最大值点 C. 对数似然在每次迭代后可能下降，取决于初始值的选取 D. EM算法保证收敛到似然函数的唯一全局最大值点
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=(x−1)²+4(y+2)²，学习率（步长）取 α=1/10，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。若从初始点 (x₀,y₀)=(3,0) 出发迭代两步，则所得迭代点 (x₂,y₂) 为（ ） A. (2.32, −1.92) B. (2.28, −1.92) C. (2.60, −1.60) D. (2.28, −2.08)
用牛顿法求函数 f(x)=x² 的极小点，取初始点 x₀=2，则迭代一次后得到的 x₁ = x₀ − f′(x₀)/f″(x₀) 为（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
用 Metropolis-Hastings 算法抽取某后验分布的 200 个样本，按顺序等分为前后两批，每批 100 个。已算得前一批样本均值为 2.8，后一批样本均值为 3.2。采用批量均值法（两批情形）估计样本均值的 Monte Carlo 标准误，其估计值为多少？ A. 0.20 B. 0.28 C. 0.40 D. 0.04
设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.4, 0.3, 0.3], [a, 0.3, 0.1], [0.6, 0.1, 0.3]]， 其中 a 为待定常数。已知分布 π = (1/2, 1/4, 1/4)。若该链满足细致平衡条件 π(i)P(i,j) = π(j)P(j,i)（对所有状态 i, j），则 a 的值应为多少？ A. 0.6 B. 0.3 C. 0.15 D. 0.25
用随机游走 Metropolis-Hastings 采样目标密度 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x>0），提议分布为对称正态 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。若当前状态 x=1，提议 x′=3，则该提议被接受的概率为（ ） A. e^(−4) B. e^(−2) C. e^(−1) D. 1
设马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移矩阵为 P = [[0.5, 0.3, 0.2], [0.3, 0.4, 0.3], [0.2, 0.3, 0.5]]。若分布 π = (π₁, π₂, π₃)（各分量均大于 0）满足细致平衡条件 πᵢPᵢⱼ = πⱼPⱼᵢ（对所有状态对成立），则该分布为（ ） A. π = (0.4, 0.3, 0.3) B. π = (1/3, 1/3, 1/3) C. π = (0.5, 0.3, 0.2) D. π = (0.25, 0.5, 0.25)
用自归一化重要性采样估计某期望，抽取的三个样本对应的 h(x) 取值分别为 2、4、6，相应的重要性权重（未归一化）分别为 1、2、3。若某同学先把权重逐个除以权重总和再做加权平均，他将得到的结果与未归一化加权公式 ∑wᵢhᵢ/∑wᵢ 的计算结果之差是多少？ A. 0 B. 2/3 C. 14/3 D. 7
设需估计 I=E[X]=∫x f(x)dx。采用自归一化重要性采样：从分布 g(x) 抽取 n 个样本 x₁,…,xₙ，令 wᵢ=f(xᵢ)/g(xᵢ)，则 I 的估计量应为（ ） A. (1/n)∑xᵢwᵢ B. ∑xᵢwᵢ / ∑wᵢ C. (1/n)∑wᵢ D. (∑xᵢwᵢ)² / ∑wᵢ