全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
某社区调查了 60 户家庭的月用水量，按组距分组编制频数分布表如下（单位：吨）：第一组 [4,6) 频数 9，第二组 [6,8) 频数 15，第三组 [8,10) 频数 21，第四组 [10,12) 频数 ____，且已知第四组的向下累计频数为 15。则第四组的频率为 ____（结果用小数表示）。
登录后查看答案
某实验室为评估新型催化剂的活性（y，单位：mol/h）与反应温度（x，单位：℃）的关系，进行了 n=5 次独立实验。测得数据满足：∑(xi - x̄)² = 100，回归平方和 SSR = 800，残差平方和 SSE = 200。已知在自由度为 (1, 3) 的 F 分布中，显著性水平 α=0.05 下的临界值 F₀.₀₅(1,3) = 10.13。请判断该线性回归方程是否显著（填“是”或“否”），并计算判定系数 R² 的值（保留两位小数）。答案格式：____，____
某研究团队为评估两种新型合金材料的稳定性，分别对 A、B 两组各 50 个样本进行了抗拉强度测试（单位：MPa）。统计结果显示：A 组平均值为 500 MPa，标准差 s_A = 10 MPa；B 组平均值为 480 MPa，标准差 s_B = 8 MPa。若仅依据“标准差越小，数据波动越小，均值代表性越强”这一逻辑直接推断 A 组的均值比 B 组更具代表性，该结论是错误的。请计算两组数据的离散系数（保留两位小数），并指出哪一组的均值实际代表性更强：A 组离散系数为 ____，B 组离散系数为 ____，____ 组均值代表性更强。
某市统计局为评估居民消费水平，对全市120万户家庭中的3600户进行随机抽样调查。在数据录入环节，发现50户的“月均收入”因小数点错位被错误记录；而在最终推断总体均值时，由于样本结构与总体分布存在差异，导致估计值与真实值偏离8%。请判断：(1) 录入错误属于____误差，该误差理论上可通过严格审核消除；(2) 结构差异导致的偏离属于____误差，该误差无法完全消除但可通过增大样本量减小其方差。
某田间试验先在每个区组内将若干整区随机分配给灌溉方式A，再把每个整区划分为若干副区，并在每个整区内将施肥方式B的全部水平随机分配给副区。每个A水平与每个B水平均出现，且B的水平不专属于某个A水平。该设计的名称及因子与试验单元结构为____。
某团队检验一种训练方案能否改变反应时间，随机选取15名受试者，分别记录训练前后的反应时间并作配对比较（后减前）。规定后减前小于0记负号，大于0记正号；结果恰有10个负号、5个正号。采用符号检验的双侧精确检验，原假设为训练前后反应时间的中位数无差异，显著性水平取0.05。取检验统计量T⁺为正号个数，则双侧p值等于____（用最简分数或四位小数表示）。
样本为 1，2，4，8，16，统计量为样本中位数 θ̂。采用删除一法 Jackknife，记 θ̂₍₋ᵢ₎ 为删去第 i 个观测后的中位数，并按偏差估计 b_J＝(n−1)(平均θ̂₍₋ᵢ₎−θ̂) 和标准误估计 SE_J＝√[(n−1)/n·∑(θ̂₍₋ᵢ₎−平均θ̂₍₋ᵢ₎)²] 计算。按“偏差估计，标准误估计”的顺序填写：____。
某多元线性回归模型含 3 个自变量，样本容量 n = 18。由观测数据算得残差平方和 SSE = 56，且 (XᵀX)⁻¹ 中与回归系数 β₂ 相对应的对角元为 0.09，β₂ 的最小二乘估计 β̂₂ = 1.5。则在检验 H₀: β₂ = 0 时所用的 t 统计量的值为 ___。
某工艺采用正交试验，指标为“越大越好”。直观分析得到因素各水平的指标均值及极差如下：A为（61，68，66），R_A=7；B为（70，64，65），R_B=6；C为（63，69，67），R_C=6；D为（65，65，69），R_D=4。按各因素均值分别择优确定预测最优水平组合，并判断影响最大的因素，结果为____。
研究者考察设备的温度、转速和进料方式，分别设定各因子的水平。为使试验能考察因子间的交互作用，设计时不能只逐个改变因子而固定其余因子，而应使各因子的水平彼此____。
某研究比较三种干预方案在反应速度、记忆保持和任务准确率三项相关指标上的总体表现。若采用多元方差分析（MANOVA）检验方案效应，其核心原假设应写为____；该检验关注各方案的整体均值向量，而非分别对三项指标作孤立判断。
某机构需用 n=800000 条记录拟合线性模型 y=Xβ+ε，目标是求最小二乘估计；X 极稀疏，且只能通过程序计算 Xv 与 Xᵀu，不能存储稠密矩阵，要求高精度求解。候选方案为：A. 显式构造 XᵀX 后做 Cholesky 分解；B. 将 X 转为稠密矩阵后做 QR 分解；C. 使用 LSQR 迭代；D. 使用固定步长梯度下降。最适合的方案是___。
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动（B(0)=0），记 τ₁ 为其首次击中水平 1 的时刻，即 τ₁ = inf{t≥0 : B(t)=1}。由反射原理，P(τ₁≤t) = 2[1−Φ(1/√t)]，其中 Φ 为标准正态分布函数。请利用该结论计算 P(τ₁≤4) = ____（保留四位小数；参考值 Φ(0.5)=0.6915）。
设满列秩矩阵 A 的 QR 分解为 A=QR，其中 Q 的列正交归一，R=[[2,2],[0,4]]，且 Qᵀb=(7,8)ᵀ。最小二乘问题 minₓ||Ax−b||₂ 的解 x̂ 满足 R x̂=Qᵀb，因此 x̂₁=___。
对某目标分布运行 m=3 条独立的 Metropolis-Hastings 链，每条链长度均为 n=50。取各链后半段样本计算得到：链内方差平均值 W=2，链间方差 B=8。采用 Gelman-Rubin 收敛诊断，定义总方差估计 V̂=((n-1)/n)·W + (1/n)·B，则 R̂=√(V̂/W) 的值为 ____（结果保留两位小数）。
某协方差矩阵 C=U diag(0.002, 1, 8)Uᵀ，其中 U 为正交矩阵。用二范数条件数评估求解 Cx=y 对右端扰动的敏感性：若 y 的相对扰动不超过 2×10⁻⁶，按条件数给出的解相对误差上界为 ____。
设线性方程组 5x₁ + x₂ = 6，x₁ + 5x₂ = 6。采用 Jacobi 迭代法，迭代格式为 x₁^(k+1) = (6 − x₂^(k))/5，x₂^(k+1) = (6 − x₁^(k))/5，取初值 x₁⁽⁰⁾ = 0，x₂⁽⁰⁾ = 0。则第一次迭代结果 x₁⁽¹⁾ = ____，x₂⁽¹⁾ = ____。
离散目标分布的未归一化权重为：X=0 时，Y=0、1 的权重分别为1、3；X=1 时分别为2、1；X=2 时分别为1、2。每轮按先更新X、再用新X更新Y的顺序进行Gibbs采样；各条件分布均按状态从小到大用逆累积分布法抽样。当前状态为(X,Y)=(2,0)，本轮更新X和Y分别使用均匀数u=0.60、v=0.80。完成一轮后的状态为(X,Y)=____。
设平稳遍历过程 {Xₙ} 满足 E(Xₙ)=2，且 E|Xₙ|<∞。根据遍历定理，几乎必然有 lim(n→∞)(1/n)∑ₖ₌₁ⁿ Xₖ = ____。
某监测系统有12台传感器，每台在一个监测日内独立地以0.08的概率报警。程序按此机制模拟10000个监测日，记录到9298天至少有一台报警。用模拟频率估计一个监测日内所有传感器均不报警的概率，估计值为____。