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某班级图书角将借阅记录按四类图书统计，管理员宣称四类图书的借阅比例依次为 1:1:2:2。随机抽取某月的 80 条借阅记录，四类图书的借阅频数依次为 12、18、20、30。以借阅比例 1:1:2:2 为原假设，在显著性水平 α=0.05 下（df=3 的 χ² 分布上侧分位数 χ²₀.₀₅=7.815）进行拟合优度检验，求卡方统计量的值，并给出检验结论。
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某水质监测中心对 25 个采样点进行治理前后对比，计算各点污染物浓度差值 dᵢ = 治理前 − 治理后，所有差值均非零且绝对值互不相同。采用 Wilcoxon 符号秩检验（双侧，H₀：差值分布对称于 0），算得正秩和 W₊ = 232。因 n 较大，用正态近似（含连续性校正）求检验统计量 z 的值，并给出双侧 p 值（用标准正态近似，Φ(1.84)≈0.9671），据此在显著性水平 α=0.05 下判断结论。
某质检部门对9批同类产品分别按质量评分和成本高低排序，得到两套秩次，各批秩次之差 dᵢ 的平方和 ∑dᵢ²=18。请在显著性水平 α=0.05 下，计算 Spearman 秩相关系数并对“质量评分与成本总体上不相关”这一原假设进行双侧检验。已知 n=9 时双侧 0.05 的 Spearman 临界值为 0.6364。
某公司为考察一种新办公椅对员工腰背舒适度评分的影响，随机抽取 8 名员工进行配对试验，记录每人使用新椅与旧椅的舒适度评分差值（新椅减旧椅，单位：分）：3.2, -1.5, 2.0, 4.1, -0.8, 5.3, 1.6, -2.4。试用 Wilcoxon 符号秩检验（双侧，α=0.05，n=8 时的双侧临界值为 T≤3）检验差值的中位数是否为零：求各差值的秩，计算正差值秩和 T+，写出统计量 T 的值并作出推断。
为比较两种工艺生产的零件耐磨度，从工艺A抽取5件，测得耐磨度：6.2, 7.1, 5.8, 6.9, 7.5；从工艺B抽取6件，测得：6.5, 7.8, 8.1, 7.0, 8.4, 7.6（单位：百小时）。假定两分布仅可能位置不同，无相同观测值。请：(1) 将两组数据合并后计算工艺A样本的Wilcoxon秩和W；(2) 利用正态近似（标准正态分布），在显著性水平α=0.05下作双侧检验，判断两工艺耐磨度位置是否有显著差异。（附：z₀.₀₂₅=1.96）
某实验室为检验一种催化剂是否改变了反应产率，选取10组平行条件进行配对实验，记录加入催化剂前后产率之差（后减前，单位：%）：3, -2, 5, 1, 6, 2, -1, 7, 4, 8。请用符号检验回答：（1）写出检验假设 H₀ 与 H₁（双侧）；（2）确定统计量 S+（正号个数）与 S-（负号个数）；（3）在 H₀ 成立下 S+ 服从二项分布 B(10, 0.5)，计算双侧精确 P 值（用分数表示）；（4）取显著性水平 α=0.05，给出检验结论。
某饮料灌装线标称每瓶净含量的中位数为 500 毫升。质检员随机抽取 20 瓶，将每瓶净含量与 500 毫升比较，得到：大于 500 毫升的有 13 瓶，小于 500 毫升的有 3 瓶，恰等于 500 毫升的有 4 瓶。按符号检验的常规做法剔除恰相等的观测后，用精确二项分布检验灌装线净含量中位数是否偏离 500 毫升（双侧检验，显著性水平 α=0.05）。要求：写出有效样本量与正、负号个数，计算精确 p 值，并给出检验结论。
某检测机构为考察一种新型净水器是否改变了水样的某项指标，随机抽取 16 份水样，分别测出使用净水器前后的指标值并作配对比较。结果记录如下：净水器后指标值高于前的有 10 份，低于前的有 4 份，另有 2 份前后相等（记为剔除）。设配对差值的总体中位数为 θ，采用符号检验（显著性水平 α=0.05，双侧检验；当有效样本对数 n=14 时，双侧临界值为 2）。要求：(1) 指出该检验的有效样本对数 n 及统计量 S 的取值；(2) 依据符号检验的基本原理判断：能否认为该净水器显著改变了水样指标值？
为比较两种育苗方式（A、B）对某树苗株高 y（cm）的影响，以移栽前苗高初始值 x（cm）为协变量，建立协方差分析模型 y_ij = μ + α_i + β(x_ij − x̄) + ε_ij，i=1,2。已知试验数据整理得：A 组 x̄₁ = 20，ȳ₁ = 45；B 组 x̄₂ = 24，ȳ₂ = 50；总平均 x̄ = 22；回归系数 β 的估计值为 β̂ = 1.5。请写出两个处理调整均值 ŷ̄₁、ŷ̄₂ 的计算公式并求出其值。
某生物发酵工艺优化试验考察三个因素（接种量 x₁、发酵温度 x₂、发酵时间 x₃），采用 Box-Behnken 设计安排试验，各因素编码水平取 −1、0、1。该设计的试验点全部位于各因素组成的三维立方体的棱中点处，即每个试验点恰有两个因素取 ±1，其余一个因素取 0，且这样的棱中点组合各安排一次试验；另在中心点 (0, 0, 0) 重复安排 3 次试验用于估计纯误差。请计算：（1）棱中点试验点的个数；（2）该 Box-Behnken 设计的总试验次数。
在某果园施肥比较试验中，研究3种施肥方案对单株产量的影响，以每株树冠体积 x（立方米）为协变量作协方差分析。已知误差项回归系数估计 β̂=1.2（千克/立方米），协变量总平均数 x̄̄=15。处理甲的产量平均数 ȳ甲=20，其 x̄甲=13；处理乙的产量平均数 ȳ乙=25，其 x̄乙=18。请计算处理甲和处理乙的调整（修正）平均数，并指出在协变量水平相同时哪种处理的调整产量更高。
为比较两种温度条件对某化学反应产率 y 的影响，以原料初始纯度 x 为协变量作协方差分析。观测总次数 n=20，处理数 t=2。拟合公共斜率的协方差分析模型后得残差平方和 SSE(公共)=100；拟合各处理分别含各自斜率的模型后得残差平方和 SSE(各组)=84。请检验“各组回归斜率相等（平行性）”这一假定条件是否成立：计算检验统计量 F 值（保留两位小数），并与临界值 F₀.₀₅(1,16)=4.49 比较，给出明确结论。
某农业大学拟比较6个小麦品种的产量差异，试验田在东西与南北两个方向均存在明显的肥力梯度。若采用6×6拉丁方设计安排试验：(1) 该设计的总试验单元数是多少？试验误差自由度是多少？(2) 若不考虑双向肥力差异，改用完全随机设计安排同样6个品种、且每品种重复6次，其试验误差自由度是多少？(3) 通过比较两个设计的误差自由度，说明拉丁方设计在获得双向区组控制这一优点的同时付出了什么代价，并据此简述拉丁方设计的一个主要缺点。
某材料实验室考察养护条件对混凝土强度的影响，采用裂区设计：整区因子A为养护湿度，取a=5个水平；副区因子B为养护温度，取b=2个水平；设r=3个完全区组。每个区组先划分为5个整区，随机安排因子A的各水平；再将每个整区细分为2个副区，随机安排因子B的各水平。试验共有abr=30个观测值。请对该试验进行自由度分解，写出区组、A、整区误差、B、A×B交互、副区误差及总自由度，并验证各分项之和等于总自由度。
某工厂质检员将一天生产的80件产品按四种缺陷类型分类，原假设为四种缺陷类型等可能发生（各占1/4）。统计得到第一类缺陷26件、第二类24件、第三类18件、第四类22件。请在显著性水平α=0.05下计算卡方拟合优度检验统计量χ²的值（保留两位小数），并写出该检验的自由度；已知χ²(0.05; 3)=7.815，判断是否拒绝原假设。
某奶茶店推出四种新口味，店长宣称顾客对四种口味无偏好。开业首日记录到购买四种口味的杯数依次为：30、20、25、25，共100杯。以四种口味被选择概率相等为原假设，取显著性水平 α=0.05（χ²(3) 的 0.95 分位数约为 7.815），计算卡方统计量并判断是否拒绝原假设。
某农业研究站为验证一种新型肥料能否提高小麦产量，选取8块条件相近的试验田进行配对试验：每块田一半施用新型肥料，一半施用原肥料，其余条件相同。记每块田的差值 d=新型肥料区产量−原肥料区产量（单位：kg），依次为：5, 7, 2, -1, 6, 4, 9, 3。假定差值来自对称分布。采用Wilcoxon符号秩检验（单侧，备择假设为新型肥料能提高产量），显著性水平 α=0.05，已知 n=8 时单侧检验的临界值为：当 T=min(W+, W−)≤5 时拒绝原假设。要求：(1) 将差值按绝对值大小从小到大排秩（无相同绝对值，不需平均秩）；(2) 分别计算正秩和 W+ 与负秩和 W−；(3) 求 T=min(W+, W−)，做出统计结论，并判断在 α=0.05 水平下能否认为新型肥料显著提高了小麦产量。
设一组样本观测值为 (x,y)：(1,2)、(2,4)、(3,6)、(4,8)、(5,25)。分别计算 x 与 y 的 Spearman 秩相关系数 r_s 与 Pearson 相关系数 r_p（结果保留三位小数），并结合两个结果说明秩相关与 Pearson 相关在度量目标上的本质区别。
某实验室对同一水样用新旧两种方法各测一次，得到 6 个平行样本的差值：+2, -1, +1, +4, -5, +3。在构造 Wilcoxon 符号秩统计量时，先将差值取绝对值，再按从小到大编秩（相等绝对值取平均秩），并求正差值秩和 W+ 与负差值秩和 W−。请完成该统计量的构造，给出各差值的秩、W+ 与 W− 的值。
某实验室研究一种催化剂对反应转化率的影响，对 6 组平行试样分别测定加入催化剂前后的转化率（%），得到配对差值（后减前）：+4, -2, +7, -7, +3, -1。请按 Wilcoxon 符号秩检验的规则构造符号秩统计量：(1) 将差值取绝对值后从小到大编秩，遇到相同绝对值时取平均秩；(2) 分别求出正差值的秩和 W⁺ 与负差值的秩和 W⁻；(3) 验证 W⁺+W⁻ 与 n(n+1)/2 是否一致，并给出检验统计量 W = min(W⁺, W⁻) 的值。