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设统计量 θ̂ 的自助重抽样次数 B=1000，将 1000 个自助估计值从小到大排序为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((1000))。若采用百分位法构造 θ 的 90% 置信区间，取左尾概率为 0.05、右尾概率为 0.05，则区间下限为 θ̂*_((___))（只需填写排序编号即可）。
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某统计量 θ̂ 的自助重抽样估计值共 B=240 个，按从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)。采用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，并规定经验分位数 Q(p)=θ̂*_(⌈240p⌉)。已知 θ̂*_(6)=2.14、θ̂*_(234)=3.87，则该置信区间为____。
某统计量在原样本上的估计值为 3，4 次自助重抽样得到的统计量估计值依次为 2、2、6、6。以这 4 个估计值的均值减去原样本估计值定义偏差估计，并以这 4 个估计值的样本标准差估计标准误，则（偏差估计，标准误估计）= ____。
设 f(x₁,x₂)=½x₁²+2x₂²，初始点 x₀=(1,−1)ᵀ。牛顿法取方向 p₀=−[∇²f(x₀)]⁻¹∇f(x₀)，拟牛顿法取方向 p₀=−B₀∇f(x₀)，其中 B₀=I。按牛顿法、拟牛顿法的顺序，两种方法的方向分别为 ____ 和 ____。
设 X₁, X₂, …, X₆₄ 相互独立同分布，均服从参数 λ=1/4 的指数分布，记 S₆₄=∑ᵢ₌₁⁶⁴ Xᵢ。由独立同分布中心极限定理，S₆₄ 近似服从正态分布 N(μ, σ²)，则 μ=____，σ²=____；从而概率 P(S₆₄<272)≈Φ(z)（其中 Φ 为标准正态分布函数），则 z=____（填小数）。
设 f(x) = x³ − 3x + 1，当前点 x₀ = 2，下降方向 d = −1。采用回溯线搜索，取初始步长 α₀ = 3，Armijo 条件为 f(x₀ + αd) ≤ f(x₀) + cα∇f(x₀)ᵀd，其中 c = 1/3。每次将步长折半 α ← α/2，直到满足条件为止。则被接受的步长为 α = ____。
用 Metropolis-Hastings 算法得到某目标分布的长度为 n=500 的链样本，用于估计均值 Eπ[X]。已知样本方差 s²=4，且由样本自相关估计得到的综合自相关时间 τ=3。若以 SE=sqrt(τ·s²/n) 作为样本均值的蒙特卡洛标准误，则该估计的标准误约为 ____（保留三位小数）。
设随机过程 {Yₙ, n≥1} 相互独立同分布，E(Yₙ)=3，D(Yₙ)=9。记样本均值 Ȳₙ = (1/n)∑ᵢ₌₁ⁿ Yᵢ。由辛钦大数定律，lim(n→∞) Ȳₙ = ____（依概率）；而由独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，√n(Ȳₙ − 3)/3 近似服从标准正态分布 N(0,1)。
设 I=∫₀¹ x³dx，U₁,…,Uₙ相互独立且服从[0,1]上的均匀分布。朴素估计量为 Îₙ=n⁻¹∑ᵢUᵢ³；对偶变量估计量为 Ĵₙ=n⁻¹∑ᵢ[Uᵢ³+(1−Uᵢ)³]/2。比较相同 n 下两个估计量的方差，方差缩减比例 1−Var(Ĵₙ)/Var(Îₙ)=____。
设线性同余发生器 X_{n+1} ≡ (7X_n + 4) (mod 11)，种子 X₀ = 3。则 X₁ = ____，X₂ = ____。
设 U₁,…,Uₙ 是区间 [a,b] 上相互独立的均匀随机变量。用蒙特卡洛积分估计 I=∫ₐᵇ f(x)dx 时，基于样本均值的估计量为 ____。
用接受-拒绝方法从密度 f(x)=4x³（0≤x≤1）中抽样，建议分布取 [0,1] 上的均匀分布 g(x)=1，常数 c 取满足 f(x)≤c·g(x) 的最小值。则该常数 c=____，每次试验（提议）被接受的概率为____。
设 ξ₁,…,ξ₅ 相互独立，且 P(ξₖ=1)=2/5、P(ξₖ=0)=3/5。令 Fₙ=σ(ξ₁,…,ξₙ)，X₀=0，Xₙ=∑ₖ₌₁ⁿ(1+ξₖ)，其中 1≤n≤5。按杜布分解定理写成 Xₙ=Mₙ+Aₙ，且 A₀=0、Aₙ−Aₙ₋₁ 为 Fₙ₋₁ 可测。则 A₅=____。
某统计计算任务有两种可选算法：算法甲的基本操作次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=n·log₂n。若在 n=1024 个数据点上运行，则算法甲与算法乙的基本操作次数之比为 ____（结果用小数表示），由此可知计算效率更高的是算法 ____。
某算法对一个含 n 个样本的数据集排序，其时间复杂度为 O(n·log n)；另一算法对同一数据集做简单遍历求和，时间复杂度为 O(n)。当 n 足够大时，遍历求和算法的运行效率____于排序算法（填“高”或“低”），理由是 O(n) 的增长阶____（填“低于”或“高于”）O(n·log n)。
设线性方程组 10x₁+x₂=11，x₁+10x₂=12。用Jacobi迭代法（分量迭代格式 x₁^(k+1)=(11−x₂^(k))/10，x₂^(k+1)=(12−x₁^(k))/10）求解，取初始向量 x^(0)=(0,0)ᵀ，则 x^(1)=(____, ____)。
用牛顿法求 f(x,y)=x²+2y²+xy 的极小点，初始点 x₀=(1,2)ᵀ。梯度为 ∇f=(2x+y, x+4y)ᵀ，Hessian 为 H=[[2,1],[1,4]]。在 x₀ 处 ∇f(x₀)=(4,9)ᵀ，则牛顿方向 d=−H⁻¹∇f(x₀)=____，一次迭代后的迭代点 x₁=x₀+d=____。
设样本 x₁,…,x₆ = 1,3,5,7,9,11，样本均值为统计量 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法：每次删去一个观测，计算 n=6 个删一估计量 θ₍ᵢ₎，再由伪值 θ̃ᵢ = n·θ̂ − (n−1)·θ₍ᵢ₎ 得到 Jackknife 标准误 se_Jack = √(∑(θ̃ᵢ−θ̄̃)²/(n(n−1)))，其中 θ̄̃ 为伪值的均值。则 se_Jack = ____（用最简根式表示）。
设对称正定矩阵 A = [[9, 3], [3, 5]]，其 Cholesky 分解为 A = LLᵀ，其中 L 为下三角矩阵。则 l₁₁ = ____，l₂₁ = ____，l₂₂ = ____。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=3x²+2y²，其梯度为 ∇f(x,y)=(6x,4y)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)，学习率（步长）α=1/6，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。试计算前两步迭代：x₁=____，y₂=____。