大学结构化学上册《量子力学基础》练习题

1. 某微观体系处于归一化波函数 ψ = (1/2)φ₁ + (√2/2)φ₂ + (1/2)φ₃ 所描述的状态，其中 φ₁、φ₂、φ₃ 是哈密顿算符 Ĥ 的本征函数，对应本征值分别为 E₁=2、E₂=4、E₃=6（能量单位 a.u.），且 φ₁、φ₂、φ₃ 彼此正交。请依据算符与力学量的对应关系，写出能量力学量 Ĥ 在该状态下的平均值表达式，并计算其数值。

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2. 设某微观粒子处于一维空间区域 0<x<L 内，其归一化波函数为 ψ(x)=√(2/L)·sin(πx/L)；在区域外 ψ(x)=0。试求在区间 L/2≤x≤L 内发现该粒子的概率。

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3. 设微观粒子处于状态 Ψ(x,t)，按照波函数的Born统计诠释，|Ψ(x,t)|² 表示 ______；若粒子被限制在一维区域 0≤x≤L 内且波函数已归一化，则归一化条件的积分表达式为 ______。

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4. 粒子被限制在一维区间 0≤x≤L 内，波函数 ψ(x)=N·x(L−x)，在区间外 ψ=0。由归一化条件 ∫₀ᴸ |ψ(x)|² dx = 1 可确定常数 N = ____。由波函数的Born统计诠释，粒子出现在区间 [0, L/2] 内的概率为 ____（用分数表示）。

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5. 一维势场中质量为 m 的粒子，其定态 Schrödinger 方程的一般形式为：____ ψ(x) = Eψ(x)，其中哈密顿算符由动能算符与势能算符之和构成。请在空位处写出完整的方程左端表达式。

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