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设某生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3}，出生率 λ₀=3, λ₁=2, λ₂=1（λₙ=0, n≥3），死亡率 μ₁=2, μ₂=3, μ₃=4。若该过程存在平稳分布 {π₀, π₁, π₂, π₃}，则 π₃=____。
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设马尔可夫链 {Xₙ} 的一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/3, 2/3]]，状态空间为 {1,2}。利用 C-K 方程先算出 P²，再算 P³，则三步转移概率 p₁₂⁽³⁾ = ____（用分数表示）。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2}，出生率 λ₀=1, λ₁=2（λ₂=0），死亡率 μ₁=2, μ₂=1。若其平稳分布 {π₀, π₁, π₂} 存在，则 π₁=____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/2, 1/2], [1/4, 3/4]]。利用 C-K 方程计算三步转移概率，则 p₂₂⁽³⁾ = ____。
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[1/3, 2/3, 0], [1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1]]。由 C-K 方程，两步转移概率 p₂₂⁽²⁾ = ____。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X 服从均值为 2 的指数分布，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。由更新定理，lim(t→∞) m(t)/t = ____。
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布于区间 (0,2) 上的均匀分布。记 γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命，A(t) 为时刻 t 的年龄。由更新极限定理，lim(t→∞) E[γ(t)] = ____，lim(t→∞) E[A(t)] = ____。
设 {N(t), t≥0} 是泊松过程，已知单位时间内平均到达次数为 3，且到达间隔相互独立服从同一指数分布。记 W₁ 为第一次到达时刻，则 P(W₁ > 0.5) = ____（保留四位小数）。
在非参数回归中，设模型 Yᵢ = m(xᵢ) + εᵢ（i=1,…,5），x₁<…<x₅，采用 Nadaraya–Watson 核权光滑器 m̂(x) = ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)Yᵢ / ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h)，K 为对称核密度函数，带宽 h>0。已知 Y₁=2，Y₂=4，Y₃=7，Y₄=9，Y₅=11。该方法不预设 m(x) 的参数形式，仅假定其具有某种光滑性。当带宽 h→0 时，m̂(x₃) 收敛于 ____；当带宽 h→∞ 时，m̂(x₃) 收敛于 ____。
设 {N(t), t≥0} 是强度 λ=1 的泊松过程，且 N(0)=0。由泊松过程具有独立增量与平稳增量性质，概率 P{N(1)=1 且 N(3)=3} = ____（用 e 的幂表示）。
设 {X(t), t≥0} 为一随机过程，给定其有限维分布族候选形式：对任意正整数 n 及任意 0≤t₁<…<tₙ，规定 (X(t₁),…,X(tₙ)) 的联合分布函数为 F(t₁,…,tₙ; x₁,…,xₙ)=F₁(t₁; x₁)·F₁(t₂; x₂)·…·F₁(tₙ; xₙ)，其中 F₁(t; x) 为一维分布函数族。按相容性定理，该分布族成为某个随机过程的有限维分布族，除要求每个 F₁(t; x) 是一维分布函数外，还须验证：对任意 m<n，n 维分布关于前 m 个分量的边缘分布（即将 x₍m₊₁₎,…,xₙ 取 ____）等于相应的 m 维分布。对于本题给定的乘积形式，该边缘分布恰等于 F₁(t₁; x₁)·…·F₁(t_m; x_m)，故此有限维分布族____相容性条件（第二空填“满足”或“不满足”）。
设随机过程 X(t)=U+V·t²，t∈R，其中 U、V 相互独立，E[U]=0，E[U²]=3，E[V]=1，E[V²]=5。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。
设随机过程 X(t)=Z·cos(3t)+W（t≥0），其中 Z 与 W 相互独立，E[Z]=0，E[Z²]=3，E[W]=2，E[W²]=5。则该过程的均值函数 m_X(t)=____，自相关函数 R_X(t,s)=____（用 t、s 表示）。
设用某核函数对样本量 n=250 的数据作核密度估计，其渐近均方积分误差为 AMISE(h)=8h⁴+1/(3125h)。求使 AMISE 达到最小的带宽 h*=____，并求最小值 AMISE(h*)=____。
非参数回归的基本思想是：不对回归函数 m(x) 的函数形式作任何参数假定，仅假设它具有一定的____性，直接利用观测数据 (xᵢ, Yᵢ) 在 x 附近的信息对 m(x) 进行局部估计，从而使模型更灵活地拟合数据的真实结构。
设有来自某连续总体的 75 个观测值 x₁,…,x₇₅，取值均落在区间 [0,15) 内。将 [0,15) 等分为 5 个宽度 h=3 的组格作直方图密度估计。已知落在组格 [6,9) 内的观测值恰有 15 个，则该组格上直方图密度估计值 f̂(6.5) = ____（结果用分数表示）。
某电商平台对 28 对配对商品页比较改版前后的点击率，记差值 dᵢ = 改版后 − 改版前，所有差值均非零且绝对值互不相同。作双侧 Wilcoxon 符号秩检验，算得正秩和 W₊ = 120。由于 n=28 较大，采用正态近似：在 H₀ 成立时 E(W₊)=n(n+1)/4，Var(W₊)=n(n+1)(2n+1)/24，则检验统计量 Z = (W₊ − E(W₊))/√Var(W₊) 的值为____（保留两位小数）。
在核密度估计 f̂(x) = (1/(nh)) ∑ᵢ K((x−xᵢ)/h) 中，核函数 K 通常满足非负性与归一化条件 ∫K(u)du = ____，以保证估计出的密度函数在整个实轴上的积分等于 1。
若要比较三个独立总体的中位数是否相同，可使用中位数检验。就数据的测量层次而言，该检验的应用条件之一是：各样本的观测值至少要能进行大小比较，即数据应达到____尺度（填测量层次名称）。
设有两个独立样本，样本X的容量m=4，样本Y的容量n=3。将两样本共7个观测值合并后按从小到大排秩，得样本X的秩分别为2、3、6、7。则Wilcoxon秩和统计量W=____。