态叠加原理与平均值计算 — 化学计算题

设某微观体系处于哈密顿算符 H 的本征态叠加态：ψ = c₁ψ₁ + c₂ψ₂ + c₃ψ₃，其中 ψ₁、ψ₂、ψ₃ 为 H 的归一化本征函数，对应本征能量分别为 E₁ = 1 eV、E₂ = 4 eV、E₃ = 6 eV，且 ψ₁、ψ₂、ψ₃ 彼此正交。已知系数 c₁、c₂、c₃ 均为实数，且 c₁ : c₂ : c₃ = 1 : 2 : 1。（1）求归一化常数（将 c₁、c₂、c₃ 用比例系数表示，含归一化因子）；（2）求测得能量为 E₂ 的概率；（3）求能量的平均值 ⟨E⟩。