大学数学建模（大学通用）上册《差分方程与离散模型》练习题

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本单元考点（5 个）

一阶差分方程求解差分方程平衡点与稳定性蛛网模型及其收敛条件离散人口年龄结构模型差分方程建模应用

题目预览（5/9 题）

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1. 某公司按月结算，第 n 月末的库存量 x_n（万件）满足一阶差分方程 x_{n+1}=2x_n−3，且 x_0=5。设 y_n=x_n−a，取适当的常数 a 使 y_n 为等比数列，则 x_5 的值为多少？ A. 61　B. 64　C. 67　D. 70

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2. 已知某工厂第 n 周末的某种原料库存量 xₙ（吨）满足一阶差分方程 xₙ₊₁ = 3xₙ − 8，且初值 x₀ = 5，则 x₅ =（　） A. 243　B. 247　C. 251　D. 731

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3. 设某商品第 t 期价格为 p_t，需求函数为 D(p)=12−3p，供给函数为 S(p)=2+p。市场每期出清，即 D(p_{t+1})=S(p_t)。若初始价格 p_0 偏离均衡价格，则价格序列 p_t 的长期行为是（　） A. 发散振荡，不趋于任何有限值 B. 收敛于均衡价格 p*=2.5 C. 收敛于均衡价格 p*=3 D. 收敛于均衡价格 p*=10/3

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4. 在某昆虫种群的离散年龄结构模型（Leslie 模型）中，按幼年、成年两组建模，Leslie 矩阵为 L=[ [0, 4], [1/2, 0] ]（幼年组不生育，成年组每时段生育4个幼体，幼体有一半成长为成体）。设初始种群向量 x(0)=(2, 4)ᵀ，则一个时段后的种群向量 x(1)=Lx(0) 为（　） A. (16, 1)ᵀ　B. (8, 1)ᵀ　C. (16, 2)ᵀ　D. (4, 16)ᵀ

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5. 设数列 xₖ 满足一阶差分方程 xₖ₊₁ = 2xₖ + 3，且 x₀ = 1，则 x₅ =（　） A. 61　B. 93　C. 125　D. 251

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