简谐运动的动力学判据 — 物理计算题

一根质量 M=0.5 kg、长 L=1.2 m 的均匀细直杆，一端通过光滑水平铰链固定，可在竖直平面内做微小摆动。在杆的自由端系一劲度系数 k=6 N/m 的轻弹簧，弹簧另一端固定于上方，杆处于水平位置时弹簧恰处于竖直方向且未伸长（杆的重力矩与弹簧初始拉力矩相互平衡的设计使得水平位置为稳定平衡位置；本题只需考虑相对平衡位置的微小角位移 θ）。以偏离水平位置的角位移 θ（弧度制）为变量：（1）写出弹簧弹力对铰链的力矩，并说明在什么近似条件下系统做简谐运动；（2）证明该系统做简谐运动，并求其角频率 ω。